АЛЕКСАНДРОВА-ЧЕХА ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ

Расстановка ударений: АЛЕКСА`НДРОВА-ЧЕ`ХА ГОМОЛО`ГИИ И КОГОМОЛО`ГИИ

АЛЕКСАНДРОВА-ЧЕХА ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ, спектральные гомологии и когомологии, - гомологии и когомологии, удовлетворяющие всем Стинрода-Эйленберга аксиомам (кроме, быть может, аксиомы точности) и нек-рому условию непрерывности. Группы (или модули) гомологии Н_n (Х, A; G) Александрова-Чеха [1], [2] определяются как обратный предел lim_← H_n (α, α '; G) по всем открытым покрытиям α пространства X; при этом α означает не только покрытие, но и его нерв, а α ' есть подкомплекс в α, являющийся нервом ограничения покрытия α на замкнутое множество А. Возможность перехода к пределу обеспечивается существованием симплициальных проекций (β, β ') → (α, α '), определяемых, с точностью до гомотопных, вписанностью β в α. Когомологии H_n (X, А; G) Александрова-Чеха определяются как прямой предел lim_→ Hⁿ (α, α '; G). Гомологии удовлетворяют всем аксиомам Стинрода-Эйленберга, кроме аксиомы точности. Для когомологий справедливы все аксиомы; частично поэтому когомологии значительно более употребительны. На категории бикомпактов аксиома точности имеет место и для гомологий, если G - компактная группа или поле. Кроме того, А.-Ч. г. и к. обладают свойством непрерывности: для X = lim_← X_λ, гомологии (когомологии) равны соответствующему пределу гомологий (когомологий) бикомпактов Х_λ . При этом теория Александрова-Чеха является единственной теорией, удовлетворяющей аксиомам Стинрода-Эйленберга (с указанным исключением) и этому условию непрерывности. На категории паракомпактных пространств для когомологий справедлива обычная характеристика через отображения в полиэдры Эйленберга-Маклейна, а сами когомологии эквивалентны когомологиям, определяемым в пучков теории. Когомологии могут быть определены также как когомологии нек-рого предельного коцепного комплекса, что дает возможность оперировать пучками коцепей. Аналогичные идеи в применении к гомологиям приводят к теории гомологий, идущей от Н. Стинрода (N. Steenrod), А. Бореля (A. Borel) и др. и удовлетворяющей всем аксиомам, включая точность (но свойство непрерывности теряется). А.-Ч. г. и к., вместе с указанной модификацией, применяются в гомологич. вопросах теории непрерывных отображений, в теории групп преобразований (связь с факторпространством), в теории обобщенных многообразий (в частности, в различных соотношениях двойственности), в теории аналитич. пространств (напр., для определения фундаментальных классов гомологии), в гомологич. теории размерности и т. п.

Лит. : [1] Александров П. С., «Аnn. of Math. », 1928, v. 30, p. 101-87; [2] Сесh Е., «Fundam. math. », 1932, t. 19, p. 149-83; [3] Стинрод H., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [4] Скляренко Е. Г., Теория гомологии и аксиома точности, «Успехи матем. наук», 1969, т. 24, вып. 5 (149), с. 87-140.

Е. Г. Скляренко.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.