АЛЕКСАНДРОВА БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ

Расстановка ударений: АЛЕКСА`НДРОВА БИКОМПА`КТНОЕ РАСШИРЕ`НИЕ

АЛЕКСАНДРОВА БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ, Александрова компактификация, - единственное хаусдорфово бикомпактное расширение α Х локально бикомпактного не бикомпактного хаусдорфова пространства X, получаемое присоединением к пространству X одной точки ∞. Произвольная окрестность точки ∞ при этом обязана иметь вид {∞ } ∪ (X\F), где F - нек-рый бикомпакт в X. А. б. р. α X является наименьшим элементом во множестве В(X) всех бикомпактных расширений пространства X. При этом наименьший элемент во множестве В(X) существует лишь для локально бикомпактного X и непременно совпадает с α X.

А. б. р. было определено П. С. Александровым [1] и играет важную роль в топологии. Так, А. б. p. α ℝⁿ n-мерного евклидова пространства совпадает с n-мерной сферой, А. б. p. α N множества натуральных чисел гомеоморфно пространству сходящейся последовательности вместе с предельной точкой, А. б. р. «открытого» листа Мёбиуса совпадает с действительной проективной плоскостью ℝ P² . Имеются патологич. ситуации, связанные с А. б. р., напр. существует совершенно нормальное, локально бикомпактное и счетно компактное пространство А, А. б. р. α Х к-рого имеет размерности dim α S < dim X и Ind α X < Ind X.

Лит. : [1] Александров П. С., «Math. Ann. », 1924, Bd. 92, S. 294-301.

В. В. Федорчук.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.