![]() |
АЛЕКСАНДЕРА ИНВАРИАНТЫРасстановка ударений: АЛЕКСА`НДЕРА ИНВАРИ`АНТЫ АЛЕКСАНДЕРА ИНВАРИАНТЫ - инварианты, связанные с модульной структурой одномерных гомологии многообразия М̃, на к-ром свободно действует свободная абелева группа Ja ранга а с фиксированной системой образующих t1, ..., ta . Проекция многообразия М̃ на пространство орбит М является накрытием, отвечающим ядру Кa гомоморфизма γ : G → Ja фундаментальной группы π1 (M) = G многообразия М. Так как Кa = π1 (M̃), то группа Вa = Кa /К'a, где К'a - коммутант ядра Кa, изоморфна одномерной группе гомологии Н1 (М̃, Z). При этом расширение 1 → Ka → G → Ja → 1 порождает расширение (*): 1 → Ba → G/K'a → Ja → 1, к-рое определяет на Вa модульную структуру над целочисленным групповым кольцом Z(Ja) группы Ja (см. Групповая алгебра). Та же самая структура индуцируется в Вa данным действием Ja на М̃. Фиксация образующих ti в Ja отождествляет Z(Ja) с кольцом La = La (t1, ..., ta) = Z[t1, t1- 1, ..., ta, ta- 1 ] лорановых многочленов от переменных ti . Расширение (*) чисто алгебраически определяет и определено модульным расширением (**): 0 → Вa → Аa → Ia → 0 (см. [5]). Здесь Ia - ядро гомоморфизма ε : La → Z, (ε ti = 1). Модуль Аa наз. модулем Александера накрытия М̃ → М. В случае (рассмотренном впервые Дж. Александером [1]), в к-ром М = М(k) - дополнительное пространство нек-рого зацепления k кратности μ в трехмерной сфере S3, а накрытие отвечает гомоморфизму коммутирования γμ : G(k) → Jμ группы зацепления, - Аμ наз. модулем Александера зацепления k. Основные свойства G, существенные для дальнейшего: G/G' - свободная абелева группа, дефект группы G равен 1, G имеет копредставление {x1, ..., xm + 1 ; r1, ..., rm}, для к-рого γμ (xi) = ti, 1 ≤ i ≤ μ, γμ (xi) = 1, i > μ (см. Узлов и зацеплений диаграммы). В случае зацеплений образующие ti ∈ Jμ отвечают меридианам компонент ki ⊂ k и фиксируются ориентацией этих компонент и сферы. Обычно М есть дополнительное пространство М(k) зацепления k, состоящего из μ (n - 2)-мерных сфер ki в Sn . Кроме гомоморфизма 947;m рассматривается гомоморфизм 947;σ : G(k) → J, где 947; (х) равно сумме коэффициентов зацепления петли, представляющей х, со всеми ki .
Матрица ![]()
где {xi ; ri} - копредставление группы G. При μ = 1 матрица А. и., в первую очередь многочлены, являются мощным средством различения узлов и зацеплений. Напр., среди узлов из таблицы с менее чем девятью двойными точками Δ1 не различает только три пары (см. Узлов таблица). См. также Узлов теория, Альтернирующие узлы и зацепления. Лит. : [1] Alexander J. W., «Trans. Amer. Math. Soc. », 1928, v. 30, № 2, p. 275-306; [2] Reidemeister K., Knotentheorie, В., 1932; [3] Blanchfield R. C., «Ann. Math. », 1957, v. 65, p. 340-56; [4] Hоsоkawa F., «Osaka J. Math. », 1958, v. 10, p. 273-82; [5] Crowell R. H., «Nagoya Math. J. », 1961, v. 19, p. 27-40; [6] Кpоуэлл P., Фокс Р., Введение в теорию узлов, пер. с англ., М., 1967; [7] Neuwirth L., Knot group, Princeton (N. Y.), 1965; [8] Crowell R. H., «J. Math. and Mech. », 1965, v. 14, № 2, p. 289-98; [9] Levine J., «Amer. J. Math. », 1967, v. 89, p. 69-84; [10] Milnоr J. W., в кн. : Conference on the topology of manifolds, v. 13, Boston (a. o.), 1968, p. 115-33. А. В. Чернавский. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |