АЛЕКСАНДЕРА ДВОЙСТВЕННОСТЬ

Расстановка ударений: АЛЕКСА`НДЕРА ДВО`ЙСТВЕННОСТЬ

АЛЕКСАНДЕРА ДВОЙСТВЕННОСТЬ - связь между гомологич. свойствами взаимно дополнительных подмножеств топологич. пространства, к-рая позволяет гомологич. свойства множества определять нек-рыми свойствами его дополнения. Первые теоремы такого рода были сформулированы в терминах не алгебраической, а теоретико-множественной топологии. В 1892 К. Жорданом (С. Jordan) было доказано, что простая замкнутая непрерывная кривая разбивает плоскость на две области и является их общей границей (теорема Жордана). Эта теорема была (1911) независимо обобщена А. Лебегом (Н. Lebesgue) и Л. Э. Я. Брауэром (L. Е. J. Brouwer) на случай n-мерного многообразия, лежащего в n + 1 -мерном сферическом (или евклидовом) пространстве; при этом была установлена связь между указанным фактом и свойством r-мерного многообразия (в n-мерном пространстве) быть зацепленным с (n - r - 1)-мерным многообразием (А. Лебег). В 1913 Л. Э. Я. Брауэр показал, что число областей, на к-рые плоское замкнутое множество разбивает плоскость, зависит лишь от топологич. свойств этого множества. В 1922 Дж. Александер [1] впервые выразил двойственность этого рода в чисто гомологич. понятиях. Теорема Александера (см. [2], [3], [4]) утверждает, что r-мерное число Бетти mod 2 (конечного) полиэдра Ф, лежащего в n-мерном сферич. пространстве, равно (n - r - 1)-мерному числу Бетти mod 2 его дополнения. П. С. Александровым (1927) эта теорема была обобщена на случай любого замкнутого множества Ф. Двойственность, сформулированная в этой теореме, наз. двойственностью Александера.

Следующим важным этапом в развитии этого рода двойственности была теорема Понтрягина (1934) (см. [2], [3], [4]), утверждающая, что r-мерная гомологии группа H_r (A, X) замкнутого множества А, расположенного в n-мерном сферич. многообразии Мⁿ над компактной группой X коэффициентов, и (n - r - 1)-мерная группа гомологии Н_{n - r - 1} (В, Y) дополнения В = Мⁿ \А над (дискретной) группой Y коэффициентов, двойственной с X в смысле теории характеров, двойственны в том же смысле, причем скалярное произведение определяется как коэффициент зацепления циклов, произвольно выбранных из перемножаемых классов гомологии. Эта теорема обычно наз. теоремой Александера-Понтрягина; двойственность, формулируемая в ней, наз. двойственностью Понтрягина, или двойственностью Александера-Понтрягина (см. Понтрягина двойственность). Ряд последующих обобщений завершился теоремой П. С. Александрова (см. [5], [7]), формулировка к-рой отличается от теоремы Понтрягина тем, что А может быть произвольным подмножеством из Мⁿ, группа А может быть как компактной, так и дискретной, а под Н_r (A, X) и H_{n - r - 1} (B, Y) понимаются группы гомологии Александрова-Чеха (см. Александрова-Чеха гомологии и когомологии), причем одна - с компактными носителями, а другая - спектрового типа. Формы А. д. для любых множеств получаются заменой последних групп двойственными им группами когомологии той же размерности над двойственной группой коэффициентов.

В дальнейших обобщениях сферич. многообразия заменяются более общими многообразиями (гомологическими многообразиями, к-рые ацикличны в определенных размерностях), группы Александрова-Чеха - группами Ситникова-Стинрода и др., группы коэффициентов - модулями, пучками и т. п.

Лит. : [1] Alexander J. W., «Trans. Amer. Math. Soc. », 1915, v. 16, p. 148-54; [2] Александров П. С., Комбинаторная топология, М. - Л., 1947; [3] Понтрягин Л. С., «Успехи матем. наук», 1947, т. 2, в. 2, с. 45-55; [4] Лефшец С, Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1949; [5] Александров П. С., «Матем. сб. », 1947, т. 21, в. 3, с. 161-232; [6] его же, Топологические теоремы двойственности, ч. 1-2, «Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова», М., 1955, т. 48; 1959, т. 54; [7] Чогошвили Г. С, в кн. : Тр. 4 Всес. матем. съезда, т. 2, М., 1964, с. 57-62.

Г. С. Чогошвили.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.