![]() |
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМРасстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКОЙ СИСТЕ`МЫ АВТОМОРФИ`ЗМ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ - изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом (А.) Ω-системы А = 〈 A, Ω 〉 наз. всякое взаимно однозначное отображение φ множества А на себя, обладающее свойствами: ![]() (1) ![]() (2) для всех х1, х2,... из А и для всех F, Р из Ω. Другими словами, А. Ω-системы А есть изоморфное отображение системы А на себя. Пусть G - множество всех А. системы А . Если φ ∈ G, то обратное отображение φ- 1 также обладает свойствами (1), (2) и поэтому φ- 1 ∈ G. Произведение α = φ ψ А. φ, ψ системы А, определяемое формулой α (x) = ψ (φ (х)), х ∈ А, снова является А. системы А . Поскольку умножение отображений ассоциативно, то 〈 G, ⋅, - 1 〉 есть группа, наз. группой всех А. системы А и обозначаемая через Aut (А ). Подгруппы группы Aut (А ) наз. просто группами А. системы А . Пусть φ - А. системы А и θ - конгруэнция этой системы. Полагая ![]() получим снова конгруэнцию θφ системы А . А. φ наз. IC-автоморфизмом, если θφ = θ для любой конгруэнции θ системы А . Множество IС(А ) всех IС-автоморфизмов системы А является нормальным делителем группы Aut(А ), и факторгруппа Aut(А )/IC(А ) изоморфна нек-рой группе А. решетки всех конгруэнции системы А [1]. В частности, всякий внутренний А. х → а- 1 ха группы, определяемый к.-л. фиксированным элементом а этой группы, является IC-автоморфизмом. Однако пример циклич. группы простого порядка показывает, что не всякий IС-автоморфизм группы - внутренний.
Пусть ![]()
2) для любой системы B из класса ![]()
является А. этой системы при любом выборе элементов x2, ..., xn в системе B . Множество I(А ) всех I-автоморфизмов каждой системы А из класса Пусть А - алгебраич. система. Заменяя каждую основную операцию F в А предикатом ![]()
получим так наз. модель А *, представляющую систему А . Справедливо равенство Aut (А *) = Aut (А ). Если системы А = 〈 А, Ω 〉, А ' = 〈 A, Ω ' 〉 имеют общий носитель А и Ω ⊂ Ω ', то Aut (А ) ⊇ Aut (А '). Если Ω-система А с конечным числом порождающих финитно аппроксимируема, то группа Aut (А ) также финитно аппроксимируема (см. [1], с. 432). Пусть В исследовании групп А. алгебраич. систем выделились следующие две проблемы.
1) Пусть дан класс
2) Пусть дан (абстрактный) класс К групп. Существует ли класс Ω-систем Пусть l - класс линейно упорядояенных множеств 〈 M, ≤ 〉, U - класс универсальных групп, RO - класс правоупорядочиваемых групп, OA - класс групп порядковых А. свободных абелевых групп. Тогда (см. [4]-[6]): ![]()
Каждая группа изоморфна группе всех А. нек-рой Ω-алгебры. Если Лит. : [1] Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966; [2] Csákány В., «Рubl. Math. Debrecen», 1965, v. 12, p. 331-33; [3] Grant I., «Pacif. J. Math. », 1973, v. 44, № 1, p. 107-15; [4] Rabin M. O., в кн. : The theory of models, Amst., 1965, p. 274-84; [5] Соhn Р. M., «Mathematika», 1957, v. 4, № 7, p. 41-50; [6] Смирнов Д. M., «Алгебра и логика», 1966, т. 5, № 6, с. 41-59; [7] Willе R. J., «Quart. J. Math. Oxford», ser. 2, 1967, v. 18, № 69, p. 53-57. Д. M. Смирнов. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |