НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКОЕ ПРОСТРА`НСТВО

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО - обобщение понятия схемы и алгебраического многообразия. К этому обобщению приводят нек-рые конструкции алгебраич. геометрии: схемы Гильберта, схемы Пикара, многообразия модулей, стягивания, не выполнимые зачастую в категории схем и требующие расширения ее. В то же время категория А. п. замкнута относительно таких конструкций, что позволяет считать А. п. естественным объектом алгебраич. геометрии.

Любая схема S определяет нек-рый пучок в этальной топологии категории схем, к-рый в свою очередь однозначно определяет схему S. Алгебраическим пространством называется пучок множеств F в этальной топологии схем, удовлетворяющей условию локальной представимости (в этальной топологии): существует схема U и морфизм пучков Ũ → F такие, что для любой схемы V и морфизма Ṽ → F расслоенное произведение Ũ Ṽ представляется схемой Z, причем индуцированный морфизм схем Z → V есть сюръективный этальный морфизм. Схема U при этом называется этальным покрытием пучка F, к-рый является факторпучком пучка Ũ по этальному отношению эквивалентности Ũ Ũ. Последнее вскрывает геометрический смысл А. п. как факторсхемы по этальному отношению эквивалентности. Морфизмы А. п. определяются как морфизмы пучков; категория схем отождествляется при этом с полной подкатегорией категории А. п.

На А. п. распространяются многие понятия теории схем: точка, локальное кольцо, этальная топология, топология Зариского, поле функций, структурный пучок, когерентные пучки. Многие результаты теории схем, таких, как критерий аффинности Серра (см. Аффинная схема), теорема конечности и существования для собственного морфизма, переносятся на А. п.

Более тонкие результаты - представимость функторов Пикара и Гильберта в категории А. п. Если на А. п. задано плоское отношение эквивалентности, то факторизация по нему дает А. п. (такая ситуация возникает, например, при свободном действии на пространстве конечной группы). Наконец, А. п. допускает стягивание подпространства с обильным конормальным пучком.

Каждое А. п. содержит открытое и плотное в топологии Зариского подпространство, являющееся схемой. Одномерные и неособые двумерные А. п. будут схемами, однако это уже не верно для трехмерных и особых двумерных А. п. ; группа в категории А. п. над полем есть схема. Полные А. п. размерности n над полем комплексных чисел имеют естественную структуру компактного аналитич. пространства с n алгебраически независимыми мероморфными функциями.

Лит. : [1] Артин М., «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, в. 1 (157), с. 181-205; [2] Knutson D., Algebraic spaces, В., 1971.

В. И. Данилов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru