АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКОЕ МНОГООБРА`ЗИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ - один из основных объектов изучения алгебраич. геометрии. Современное определение А. м. над полем k как приведенной схемы конечного типа над полем k претерпело длительную эволюцию. Классич. определение А. м. ограничивалось аффинными и проективными алгебраич. множествами над полями действительных или комплексных чисел (см. Аффинное алгебраическое множество, Проективное алгебраическое множество). Начиная с кон. 20-х гг. 20 в. в работах Б. Л. ван дер Вардена (В. L. van der Waerden), Э. Нётер (Е. Noether) и др понятие А. м. подверглось существенной алгебраизации, позволившей перейти к рассмотрению А. м. над произвольными полями. А. Вейль [6] перенес на А. м. идею конструкции дифференцируемых многообразий с помощью склейки. Полученное таким образом абстрактное А. м. определяется как система (V_α) аффинных алгебраич. множеств над полем k, в каждом из к-рых выделены открытые подмножества W_{α β} ⊂ V_α, согласованно изоморфные открытым подмножествам W_{β α} ⊂ V_β . На такие А. м. удалось перенести все основные понятия классической алгебраич. геометрии. Примеры абстрактных А. м., неизоморфных алгебраич. подмножествам проективного пространства, были затем построены М. Нагатой (М. Nagata) и X. Хиронака (Н. Hironaka) (см. [2], [3]). Аналогом проективных алгебраич. множеств при этом служили полные алгебраические многообразия.

Ж. П. Серром [5] было обнаружено, что единое определение дифференцируемых многообразий и аналитич. пространств как окольцованных топологич. пространств имеет свой аналог и в алгебраич. геометрии. А. м. стало наз. окольцованное пространство, локально изоморфное аффинному алгебраич. множеству над полем к с топологией Зариского и пучком ростков регулярных функций на нем. Дополнительная структура окольцованного пространства на А. м. позволяет упростить различные конструкции с абстрактными А. м., а также ввести в их изучение методы гомологич. алгебры, связанные с теорией пучков.

В 1958 на Международном математич. конгрессе в Эдинбурге А. Гротендик (A. Grothendieck) наметил перспективы дальнейшего обобщения понятия А. м., связанного с теорией схем. После того как были заложены [4] основы этой теории, под А. м. стали пониматься приведенные схемы конечного типа над полем к, причем такие аффинные (соответственно проективные) схемы стали наз. аффинными (соответственно проективными) многообразиями. Включение А. м. в более широкие рамки схем оказалось полезным в ряде вопросов классической алгебраич. геометрии (разрешение особенностей, модулей проблема и др.).

Другое обобщение понятия А. м. связано с понятием алгебраического пространства.

Над полем комплексных чисел каждое А. м. обладает структурой комплексного аналитического пространства, что позволяет привлекать к изучению топологические и трансцендентные методы (см. Кэлерово многообразие).

Многие вопросы теории чисел (теория сравнений, диофантовы уравнения, модулярные формы и др.) приводят к изучению А. м. над конечными полями и полями алгебраич. чисел (см. Алгебраических многообразий арифметика, Диофантова геометрия, Дзета-функция в алгебраической геометрии).

Лит. : [1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1972, с. 47-112; [4] Grothendieck A., DieudonnéJ., Eléments de géométrie algébrique, t. 1 - Le langage des schemas, P., 1960; [5] Serre J. - P., «Ann. Math. », 1955, v. 61, № 2, p. 197-278; [6] Weil A., Foundations of algebraic geometry, N. Y., 1946 (2 ed., 1962).

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.