АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКИХ СИСТЕ`М МНОГООБРА`ЗИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ - алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры Ω, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида

где Р - к.-л. предикатный символ из Ω или знак равенства, f₁, ..., f_n - термы сигнатуры Ω от предметных переменных x₁, ..., x_s . А. с. м. наз. иначе эквациональными классами, иногда примитивными классами. Многообразие сигнатуры Ω может быть определено также (теорема Биркгофа) как непустой класс Ω-систем, замкнутый относительно подсистем, гомоморфных образов и декартовых произведений.

Пересечение всех многообразий сигнатуры Ω, содержащих данный (не обязательно абстрактный) класс Ω-систем, наз. эквациональным замыканием класса (или многообразием, порожденным классом ) и обозначается var. В частности, если класс состоит из одной Ω-системы А, то его эквациональное замыкание обозначают varА . Если система А конечна, то все конечно порожденные системы в многообразии varА также конечны [1], [2].

Пусть ℒ - нек-рый класс Ω-систем, Sℒ - класс подсистем систем из ℒ, Нℒ - класс гомоморфных образов систем из ℒ, Пℒ - класс изоморфных копий декартовых произведений систем из ℒ. Для произвольного непустого класса Ω-систем имеет место соотношение (см. [1], [2]):

var = HSПℒ.

Многообразие наз. тривиальным, если в каждой его системе истинно тождество х = у. Всякое нетривиальное многообразие обладает свободными системами F_m) любого ранга m и = var F₀ () (см. [1], [2]).

Пусть S - множество тождеств сигнатуры Ω и KS - класс всех Ω-систем, в к-рых истинны все тождества из S. Если для многообразия сигнатуры Ω выполняется равенство = KS, то S наз. базисом для . Многообразие наз. конечно базируемым, если оно имеет конечный базис S. Для любой системы А базис многообразия varА наз. также базисом тождеств системы А . Если - конечно базируемое многообразие алгебр конечной сигнатуры и все алгебры из имеют дистрибутивные решетки конгруэнции, то каждая конечная алгебра А из имеет конечный базис тождеств (см. [10]). В частности, любая конечная решетка 〈 А, ∨, ∧ 〉 обладает конечным базисом тождеств. Конечный базис тождеств имеет любая конечная группа [3]. Напротив, существует 6-элементная полугруппа [5] и 3-элементный группоид [6], у к-рых нет конечного базиса тождеств.

Многообразия Ω-систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном многообразии сигнатуры Ω, составляют по включению полную решетку L() с нулем и единицей, к-рая наз. решеткой подмногообразий многообразия . Нулем этой решетки служит многообразие с базисом х = у, Р(x₁, ..., x) (P ∈ Ω), а единицей - многообразие . Если многообразие нетривиально, то решетка L() антиизоморфна решетке всех вполне характеристических конгруэнции свободной в системы F₀ () счетного ранга [1]. Решетка L_Ω всех многообразий сигнатуры Ω бесконечна, кроме случая, когда множество Ω конечно и состоит лишь из предикатных символов. Известно точное значение мощности бесконечной решетки L_Ω (см. [1]). Решетка всех многообразий решеток 〈 L, ∧, ∨ 〉 дистрибутивна и имеет мощность континуума [7], [8]. Решетка всех многообразий групп 〈 G, ⋅, ^{- 1} 〉 модулярна, но не дистрибутивна [3], [4]. Решетка многообразий коммутативных полугрупп не модулярна [9].

Атомы решетки L_Ω всех многообразий сигнатуры Ω наз. минимальными многообразиями сигнатуры Ω. Каждое многообразие, обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное многообразие. Если Ω-система А конечна и конечного типа, то многообразие varА содержит лишь конечное число минимальных подмногообразий [1].

Пусть , - подмногообразия фиксированного многообразия Ω-систем. Мальцевским произведением ○ наз. класс тех систем А из , к-рые обладают такой конгруэнцией θ, что (A /θ) ∈ , а все смежные классы а/θ (а ∈ А ), являющиеся системами из , принадлежат . Если - многообразие всех групп, а , - его подмногообразия, то произведение ○ совпадает с произведением в смысле X. Нейман [3]. Произведение многообразий полугрупп может не быть многообразием. Многообразие Ω-систем наз. поляризованным, если существует такой терм е(х) сигнатуры Ω, что в каждой системе из истинны тождества е(х) = е(у), F(e(x), ..., е(х)) = е(х) (F ∈ Ω). Если - поляризованное многообразие алгебр и в каждой алгебре из конгруэнции перестановочны, то мальцевское произведение ○ любых подмногообразий , из есть многообразие. В частности, можно говорить о группоиде G_I () подмногообразий любого многообразия групп, колец и т. п. Если - многообразие всех групп или всех алгебр Ли над фиксированным полем Р характеристики иуль, то G_I () - свободная полугруппа [1].

Лит. : [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969; [4] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [5] Perkins P., «J. of Algebra», 1969, v. 11, № 2, p. 298-314; [6] Курский В. Л., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, №4, с. 815-18; [7] Jónsson В., «Math. Scand. », 1967, v. 21, № 1, p. 110-21; [8] Baker К. A., «Pacific J. of Math. », 1969, v. 28, № 1, p. 9-15; [9] Sсhwabauer R., «Рrос. Amer. Math. Soc. », 1969, v. 20, № 2, p. 503-04; [10] Baker K. A., «Trans. Amer. Math. Soc. », 1974, v. 190, p. 125-50.

Д. M. Смирнов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.