АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКИХ СИСТЕ`М КЛА`СС

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС - класс однотипных алгебраических систем. Все системы любого данного типа предполагаются записанными в определенной сигнатуре Ω и наз. Ω-системами. Класс Ω-систем наз. абстрактным, если он содержит вместе с каждой своей системой А и все изоморфные ей Ω-системы.

Пусть - абстрактный класс Ω-систем. Говорят, что Ω-система А обладает локальной совокупностью - подсистем, если существует направленное по включению множество {А_α : α ∈ Λ } подсистем А_α системы А, к-рые покрывают систему А (т. е. ∪ A_α = А ) и принадлежат классу . Класс наз. локальным, если каждая Ω-система А, обладающая локальной совокупностью -подсистем, принадлежит классу . Теоремы, устанавливающие локальность тех или иных абстрактных классов, принято наз. локальными (см. Мальцева локальные теоремы).

Ω-система А наз. - aппроксимируемой (или - резидуальной), если для любого предиката Р ∈ {Ω_p, = } (т. е. для любого основного предиката, а также для предиката, совпадающего с отношением равенства в А )и для любых элементов a₁, ..., a_n из А, для к-рых Р(a₁, ..., a_n) = Л, существует гомоморфизм φ : А → B системы А в нек-рую систему B из класса , при к-ром снова Р(φ (а₁), ..., φ (а_n)) = Л . Любая подсистема - аппроксимируемой системы сама - аппроксимируема. Если - класс всех конечных Ω-систем, то - аппроксимируемая система А наз. финитно аппроксимируемой (или резидуально конечной). Если абстрактный класс обладает единичной системой Е = 〈 {е}, Ω 〉, то Ω-система А - аппроксимируема тогда и только тогда, когда она изоморфно вложима в декартово произведение систем из класса (см. [3]). Класс наз. резидуальным, если всякая - аппроксимируемая система принадлежит классу . Класс наз. гомоморфно замкнутым, если он содержит с каждой своей Ω-системой А и все Ω-системы, являющиеся гомоморфными образами системы А . Всякий резидуальный гомоморфно замкнутый класс - локальный (см. [5]).

Класс Ω-систем наз. (конечно) аксиоматизируемым, если существует такая (конечная) совокупность S замкнутых формул 1-й ступени сигнатуры Ω, что состоит из тех и только тех Ω-систем, в к-рых истинны все формулы из S. Конечно аксиоматизируемые классы наз. иначе элементарными классами. При помощи обобщенной гипотезы континуума доказано (см. [5]), что: 1) А. с. к. аксиоматизируем тогда и только тогда, когда он замкнут относительно ультрапроизведений и его дополнение (в классе всех Ω-систем) замкнуто относительно ультрастепеней; 2) А. с. к. элементарен тогда и только тогда, когда он и его дополнение замкнуты относительно ультрапроизведений. Теория аксиоматизируемых А. с. к. изучает связи между структурными свойствами рассматриваемых классов и синтаксич. особенностями формального языка, на к-ром эти классы могут быть заданы. Среди аксиоматизируемых классов особенно важную роль в алгебре играют многообразия (см. Алгебраических систем многообразие) и квазимногообразия (см. Алгебраических систем квазимногообразие), к-рые локальны и резидуальны.

Наряду с аксиоматизируемостью замкнутыми формулами 1-й ступени рассматривают также аксиоматизируемость при помощи специальных замкнутых формул 2-й ступени. К сигнатурным функциональным и предикатным символам F_i (i ∈ I), Р_j (j ∈ J) фиксированной сигнатуры Ω присоединяют предикатные переменные R₁, R₂,.... Пусть - бескванторная формула 1-й ступени, составленная из сигнатурных функциональных и предикатных символов, предикатных переменных R₁, ..., R_s и предметных переменных x₁, ..., x_r . Формула 2-й ступени Q , где Q - нек-рая последовательность кванторов вида (∀ R_i), (∃_i) или (∀_k), наз. криптоуниверсальной. Формула 2-й ступени, образованная из криптоуниверсальных формул без свободных предметных переменных при помощи логич. связок &, ∨, →, ~ с последующим навешиванием квантора всеобщности ∀ на все свободные предикатные переменные, встречающиеся в записях криптоуниверсальных формул, наз. булево-универсальной формулой сигнатуры Ω. Класс Ω-систем наз. квазиуниверсальным, если существует такая совокупность S булево-универсальных формул сигнатуры Ω, что состоит из тех и только тех Ω-систем, в к-рых истинны все формулы из S. Квазиуниверсальный класс Ω-систем локален (теорема Мальцева). Имеется более сложное определение квазиуниверсального класса, данное А. И. Мальцевым [4].

Лит. : [1] Мальцев А. И., «Уч. зап. Ивановск. гос. пед. ин-та», 1941, т. 1, в. 1, с. 3-9; [2] его же, «Изв. АН СССР. Сер. матем. », 1959, т. 23, № 3, с. 313-36; [3] его же, Алгебраические системы, М., 1970; [4] его же, в кн. : Тр. четвертого всес. матем. съезда. Ленинград, 1961, т. 1, Л., 1963; [5] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [6] Сlеavе J. P., «J. London Math. Soc. », 1969, v. 44, pt 1, № 173, p. 121-30.

Д. M. Смирнов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.