НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКИХ СИСТЕ`М КВАЗИМНОГООБРА`ЗИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ - класс алгебраич. систем (Ω-систем), аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич. языка 1-й ступени, к-рые наз. квазитождествами, или условными тождествами, и имеют вид:

где - термы сигнатуры Ω от предметных переменных x1, ..., xs . В силу теоремы Мальцева [1], А. с. к. сигнатуры Ω может быть определено также как абстрактный класс Ω-систем, содержащий единичную Ω-систему Е и замкнутый относительно подсистем и фильтрованных произведений (см. [1], [2]). Аксиоматизируемый класс Ω-систем является квазимногообразием тогда и только тогда, когда он содержит единичную Ω-систему Е и замкнут относительно подсистем и декартовых произведений. Если - квазимногообразие сигнатуры Q, то подкласс 1 тех систем , которые изоморфно вложимы в подходящие системы из некоторого квазимногообразия сигнатуры Ω ' ⊇ Ω, сам является квазимногообразием. Напр., класс полугрупп, вложимых в группы, есть квазимногообразие; класс ассоциативных колец без делителей нуля, вложимых в ассоциативные тела, также является квазимногообразием.

Квазимногообразие сигнатуры Ω наз. конечно определимым (или обладающим конечным базисом квазитождеств), если существует такое конечное множество S квазитождеств сигнатуры Ω, что состоит из тех и только тех Ω-систем, в к-рых истинны все формулы из множества S. Напр., квазимногообразие всех полугрупп с сокращением определяется двумя квазитождествами

zx = zy → х = у, xz = yz → x = у.

и потому конечно определимо. Напротив, квазимногообразие полугрупп, вложимых в группы, не имеет конечного базиса квазитождеств (см. [1], [2]).

Если - произвольный (не обязательно абстрактный) класс Ω-систем, то наименьшее среди квазимногообразий, содержащих , наз. импликативным замыканием класса . Оно состоит из подсистем изоморфных копий фильтрованных произведений Ω-систем из класса ∪ {E}, где Е - единичная Ω-система. Если - импликативное замыкание класса Ω-систем , то наз. порождающим классом квази многообразия . Квазимногообразие порождается одной системой тогда и только тогда, когда для любых двух систем А, В из существует в классе система С, содержащая подсистемы, изоморфные системам А, В (см. [1]). Всякое квазимногообразие , содержащее неодноэлементную систему, обладает свободными системами любого ранга, к-рые являются одновременно свободными системами в эквациональном замыкании класса . Квазимногообразия Ω-систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном квазимногообразии сигнатуры Ω, составляют полную решетку относительно теоретико-множественного включения. Атомы решетки всех квазимногообразий сигнатуры Ω наз. минимальными квазимногообразиями сигнатуры Ω. Минимальное квазимногообразие порождается любой своей неединичной системой. Каждое квазимногообразие , обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное квазимногообразие. Если - квазимногообразие Ω-систем конечной сигнатуры Ω, то все его подквазимногообразия составляют группоид относительно мальцевского - умножения (см. [3]).

Лит. : [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Мальцев А. И., «Сиб. матем. ж. », 1967, т. 8, № 2, с. 346-65.

Д. М. Смирнов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru