АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТОР

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКИЙ ТО`Р

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТОР - алгебраическая группа, изоморфная над нек-рым расширением основного поля прямому произведению конечного числа мультипликативных групп G_m . Группа Т^ всех гомоморфизмов А. т. Т в G_m наз. группой характеров А. т. Т; она является свободной абелевой группой ранга, равного размерности А. т. Т. Если А. т. Т определен над полем k, то Т^ наделяется структурой G-модуля, где G есть группа Галуа алгебраич. замыкания поля k. Функтор Т → Т^ определяет двойственность между категорией А. т. над k и категорией ℤ - свободных G-модулей конечного ранга. А. т., изоморфный произведению групп G_m над своим полем определения k, наз. расщепимым над k; всякий А. т. расщепляется над конечным сепарабельным расширением поля k. В теории алгебраич. групп А. т. играет роль, весьма схожую с ролью торов в теории групп Ли. Изучение А. т., определенных над полем алгебраич. чисел, занимает важное место в вопросах арифметики и классификации алгебраич. групп (см. Линейная алгебраическая группа, Тамагавы число).

Лит. : [1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Оnо Т., «Аnn. Math. », 1961, v. 74, p. 101-39; [3] его же, «Аnn. Math. », 1963, v. 78, p. 47-73.

В. Е. Воскресенский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.