АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКИ ЗА`МКНУТОЕ ПО`ЛЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ - поле k, в к-ром всякий многочлен ненулевой степени над k имеет хотя бы один корень. В действительности, из алгебраич. замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени n над k имеет в k ровно n корней, т. е. каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов k[х] имеет степень 1. Поле k алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраич. расширения (см. Расширение поля). Существует единственное с точностью до изоморфизма алгебраич. расширение поля k, являющееся А. з. п. ; оно наз. алгебраическим замыканием поля k и обычно обозначается через k. Всякое А. з. п., содержащее k, содержит подполе, изоморфное k.

Алгебраич. замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраич. замкнутость устанавливается Алгебры основной теоремой.

Лит. : [1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 1, пер. с англ., М., 1963; [2] Ленг С. Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

О. А. Иванова

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.