АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОЧКА ВЕТВЛЕНИЯ

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКАЯ ТО`ЧКА ВЕТВЛЕ`НИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОЧКА ВЕТВЛЕНИЯ, алгебраическая особая точка, - изолированная точка ветвления а конечного порядка аналитич. функции f(z), обладающая тем свойством, что для любого элемента аналитич. продолжения этой функции, регулярного в области, имеющей точку a граничной точкой, существует предел lim_{z → a} f(z). Точнее, точка а плоскости комплексного переменного z, являющаяся особой для полной аналитической функции f(z) при продолжении нек-рого правильного элемента е₀ этой функции с центром z₀ вдоль путей, проходящих через а, наз. алгебраической точкой ветвления, если выполняются следующие условия. 1) Существует такое положительное число ρ, что элемент е₀ может быть продолжен вдоль любой непрерывной кривой, лежащей в кольце D = {z; 0 < |z - а| < ρ }. 2) Существует такое натуральное k > 1, что если z₁ - любая точка кольца D, то аналитич. продолжение элемента е₀ в кольце D дает в точности k различных элементов функции f(z) с центром z₁ ; если е₁ - какой-либо элемент с центром z₁, то все остальные k - 1 элементов с центром z₁ получаются аналитич. продолжением по замкнутым путям, охватывающим точку а. 3) Значения всех элементов, получаемых из е₀ продолжением в D в точках z кольца D, стремятся к определенному, конечному или бесконечному, пределу, когда z стремится к а, оставаясь в D.

Число k - 1 наз. порядком А. т. в. Все ветви функции f(z), получаемые аналитич. продолжением элемента е₀ в кольце D, могут быть представлены в проколотой окрестности точки а при помощи обобщенного ряда Лорана (ряда Пюизё):

Бесконечно удаленная тояка а = ∞ наз. А. т. в. для функции f(z), если точка b = 0 является А. т. в. функции g(w) = f(1/w).

Может существовать несколько (и даже бесконечно много) различных А. т. в. и правильных точек полной аналитич. функции с одним и тем же аффиксом а.

Лит. : [1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 8; [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 3, гл. 4.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.