АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ K-ТЕОРИЯ

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКАЯ K-ТЕО`РИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ K-ТЕОРИЯ - раздел алгебры, к-рый в основном занимается изучением К-функторов (K₀, K₁ и др.); по существу - это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощенно, это - обобщение результатов о существовании и единственности (с точностью до автоморфизма) базиса векторного пространства и других общих теоретико-групповых фактов о линейных группах над полями. При переходе от ноля к произвольному кольцу R эти теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротендика K₀ (R) и Уайтхеда K₁ (R), в нек-ром смысле, являются мерой отклонения от их истинности. Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры возникают и в топологии. Векторное пространство можно рассматривать как частный случай векторного расслоения. Гомотопич. теория векторных расслоений и топологич. К-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. В А. K-т. широко используются теория колец, гомологич. алгебра, теория категорий и теория линейных групп.

А. K-т. имеет два различных историч. источника, оба лежащих в геометрии. Первый связан с нек-рыми топологич. препятствиями. Исходным пунктом было введение понятия Уайтхеда кручения, связанного с гомотопич. эквивалентностью конечных комплексов и лежащего в группе Уайтхеда, являющейся нек-рой факторгруппой группы K₁ (R), где R = ℤ П - целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы П. Следующий шаг связан с рассмотрением топологич. пространства X, доминируемого конечным комплексом, и его обобщенной эйлеровой характеристики χ (А), лежащей в группе K₀ (ℤ π). Вычисление групп Уайтхеда и L-групп, являющееся в принципе алгебраич. задачей о групповых кольцах, и было одной из первых целей А. K-т. K₂ и другие высшие функторы имеют топологич. приложения такого же типа (напр., препятствие для деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия в изотопию лежит в нек-рой факторгруппе группы K₂ (ℤ π)). Алгебраич. изучение группы Уайтхеда началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение структуры линейных групп над произвольными кольцами, в частности теория определителей над телами (см. [10]).

Второй источник А. K-т. - алгебраич. доказательство А. Гротендиком (A. Grothendieck) в 1957 теоремы Римана-Роха (см. [7]) и ее обобщений. В этом доказательстве был введен K-функтор K(X) как группа значений универсальной аддитивной функции на когерентных пучках на гладком алгебраич. многообразии. Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений, Витта кольца классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Затем K-функтор был перенесен в топологию, где нашел многочисленные применения, сделав возможным решение многих недоступных ранее задач.

Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открывает новые перспективы в понимании старых проблем анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологий), теории представлений групп. Развитию А. K-т. для колец (начавшемуся с установления соответствия (аналогии) между проективными конечно порожденными модулями и векторными расслоениями) препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога понятия надстройки в топологии.

В 50-60-х гг. 20 в. подверглись систематич. изучению проективные модули над конечными группами, была развита одна из важнейших идей, лежащая в основе А. K-т., - идея «стабилизации», состоящая, грубо говоря, в том, что общие закономерности проявляются более отчетливо при переходе к пределу по размерности рассматриваемых объектов (напр., линейных групп или проективных модулей). Были обнаружены связи А. K-т. с взаимности законами в теории алгебраич. чисел и алгебраич. функций, исследованы вопросы, связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраич. аналог Ботта теоремы периодичности - теория полиномиальных расширений.

Для кольца R с единицей группа Гротендика K₀ (R) определяется как абелева группа, образующими к-рой служат классы изоморфных конечно порожденных проективных R-модулей, с определяющими соотношениями

где [Р] - класс модулей, изоморфных модулю Р. Пусть GL (n, R) - полная линейная группа над R, - вложение GL(n, R) в GL(n + 1, R), GL(R) - прямой предел групп GL(n, R), E (R) - подгруппа в GL(R), порожденная элементарными матрицами e^λ_ij, т. е. матрицами с элементом λ ∈ R на i, j-м месте, и совпадающая с единичной матрицей на остальных местах. Тогда Е(R) совпадает с коммутантом группы GL(R). Факторгруппа GL(R)/E(R) обозначается через K₁ (R) и наз. группой Уайтхеда. Наконец, группа Стейнбергa St (n, R) при n ≥ 3 определяется в образующих x^λ_ij, λ ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j, соотношениями

Переходя к прямому пределу, получают группу St(R) и естественный гомоморфизм

при к-ром

Ядро ker φ обозначается через K₂ (R) (группа Милнора). Оно совпадает с центром группы St (R). Таким образом, K₀, K₁, K₂ - функторы из категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из функторов K₀ и K₁ может быть охарактеризован как функтор, сопоставляющий конечно порожденному проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий нек-рым свойствам и универсальный относительно этих свойств. Такая «универсальная» характеризация позволяет определить аналог функторов K₀ и K₁ на «достаточно хороших» категориях. В частности, для категории нётеровых R-модулей получаются весьма близкие к K_i (R) функторы G_i (R).

Примеры групп K_i (R). Если R - тело, R* - его мультипликативная группа, то K₀ (R) = ℤ - группа целых чисел, K₁ (R) = R*/[R*, R*]; K₂ (ℤ) - циклич. группа 2-го порядка. Если R - конечное поле, то K₂ (R) = 0.

Важным результатом в А. K-т. является точная последовательность Майера-Вьеториса для декартова квадрата. Именно, если диаграмма -

декартов квадрат гомоморфизмов колец, в к-ром f₁ - эпиморфизм, то точна последовательность

причем, если f₂ также эпиморфизм, то последовательность дополняется членами

Если I - двусторонний идеал кольца R, то последовательность Майера-Вьеториса позволяет (см. [8]) определить относительные функторы K_i (R, I), дающие точную последовательность

Достаточно полно исследован вопрос о поведении K-функторов при переходе от кольца R к его локализации по центральной мультипликативно замкнутой системе. В частности, при соответствующих условиях на кольцо R для функтора G₀ (R) получена точная последовательность

Если кольцо R коммутативно, то группа K₀ (R) превращается в кольцо с единицей путем введения умножения, индуцируемого тензорным произведением модулей. Существует расщепляющийся эпиморфизм кольца K₀ (R) на кольцо Н(R) непрерывных целочисленных функций (кольцо ℤ рассматривается в дискретной топологии) на спектре кольца R. Ядро этого гомоморфизма обозначается K̃₀ (R). Известно, что K₀ (R) является нильрадикалом кольца K₀ (R), причем если R-нётерово и размерность его максимального спектра равна α, то K̃₀ (R)^{α + 1} = 0. Если же эта размерность не превосходит 1, то группа K₀ (R) изоморфна Пикара группе Pic (K).

Для колец арифметич. типа существуют теоремы конечности для функторов K_i (R) и G_i (R). Именно, если А является кольцом целых чисел или кольцом многочленов над конечным полем, a R является R-порядком и одновременно R-решеткой в полупростой конечномерной алгебре над полем частных кольца А, то группы K_i (R) и G_i (R) конечно порождены (i = 0, 1).

Развитию А. K-т. способствовали исследования по проблеме конгруэнц-подгрупп: каждая ли подгруппа конечного индекса в арифметич. группе содержит некоторую конгруэнц-подгруппу? Этот вопрос тесно связан с проблемой вычисления группы K₁ (R, I) для идеалов I в R.

Из результатов о стабильном строении проективных модулей следует отметить теорему: если R-коммутативное нётерово кольцо, максимальный спектр к-рого имеет размерность d, а А - конечномерная R-алгебра, то любой конечно порожденный проективный A - модуль Р такой, что

для всех максимальных идеалов кольца R изоморфен А⊕ N (здесь М - локализация модуля M по ). Другой важной теоремой о строении проективных модулей является теорема о сокращении: пусть кольца R, А и модуль Р - такие же, как выше, Q - конечно порожденный проективный А - модуль и М, N - произвольные A-модули. Тогда из

следует

С вопросами стабильного строения проективных модулей тесно связан стабильный ранг кольца R. Напр., если R - коммутативное кольцо стабильного ранга меньше d, то

В связи с теорией индуцированных представлений групп изучались функторы К_i от групповых колец. Один из результатов этого направления: если G - конечная группа порядка n и С - семейство циклич. подгрупп группы G, то показатель подгруппы

в группе K_i (RG) при i = 0, 1, 2 делит n.

О полиномиальных расширениях колец известно, что если R - регулярное кольцо, то

Кроме того, для произвольного кольца R точна последовательность

Одним из результатов о вычислении функтора K₂ (R) является теорема Мацумото: если R-поле, то группа K₂ (R) задается образующими l(a) (взаимно однозначно сопоставленным всем ненулевым элементам а поля R) и соотношениями l(a) l(1 - а) = 1 при а ≠ 1.

В 70-х гг. 20 в. появились многочисленные варианты определения функторов K_i при i ≥ 2. Было доказано [9] совпадение этих теорий, дающих классич. функторы К_n при n ≤ 2. В ряде случаев найдены эффективные средства вычисления высших K-групп. Начала развиваться унитарная K-теория (см. [9], т. 3), изучающая аналогичные вопросы для модулей, на к-рых определены квадратичные и билинейные формы.

Лит. : [1] Атья М., Лекции по K-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] Bass Н., Topics in algebraic K-theory. Tata institute of Fundamental research, Bombay, 1966; [3] Басс X., Алгебраическая K-теория, пер. с англ., М., 1973; [4] Swan R. G., Algebraic K-theory, В. - Heidelberg - N. Y., 1968; [5] Swan R. G., Evans E. G., K-theory finite groups and orders, В. - Heidelberg - N. Y., 1970; [6] Algebraic K-theory and its Geometric Applications, В. - Heidelberg - N. Y., 1969; [7] Maнин Ю. И., «Успехи матем. наук», 1969, т. 24, в. 5, с. 3-86; [8] Милнор Дж., Введение в алгебраическую K-теорию, пер. с англ., М., 1974; [9] Algebraic K-theory, v. I-III В. - Heidelberg - N. Y., 1973; [10] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969.

А. В. Михалев, А. И. Немытов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.