![]() |
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМАРасстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКАЯ СИСТЕ`МА АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА - множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50-х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой. Основные понятия. Алгебраической системой наз. объект А = 〈 А, О, R〉, состоящий из непустого множества А, семейства О алгебраических операций оi : Аni → А (i ∈ I) и семейства R отношений ri ⊆ Amj (j ∈ J) заданных на множестве А. Показатели ni, mj рассматриваемых декартовых степеней множества А предполагаются целыми неотрицательными числами и наз. арностями соответствующих операций и отношений. Множество А наз. носителем, или основным множеством, А. с. А, а его элементы - элементами этой системы. Мощность |А| множества А наз. мощностью, или порядком, А. с. А . Образ оi (a1, ..., ani) элемента (a1, ..., ani) ∈ Ani при отображении оi : Ani → А наз. значением операции оi в точке (a1, ..., ani). Аналогично, если (a1, ..., amj) ∈ rj, то говорят, что элементы a1, ..., amj из А находятся в отношении rj, и пишут rj (a1, ..., amj). Операции оi (i ∈ I) и отношения rj (j ∈ J), в отличие от других операций и отношений, к-рые могут быть определены на множестве А, наз. основными, или главными. Пара семейств 〈 {ni : i ∈ I}; {mj : j ∈ J} 〉 наз. типом А. с. А . Две А. с. А, А ' однотипны, если I = I', J = J' и ni = n'i, mj = m'j для всех i ∈ I, j ∈ J. Основные операции оi, о'i и основные отношения rj, r'j однотипных А. с. А, А ', имеющих одинаковые индексы в I, J соответственно, наз. одноименными. А. с. А наз. конечной, если множество А конечно, и конечного типа, если множество I ∪ J конечно. А. с. А конечного типа записывают в виде А = 〈 А; o1, ..., os, r1, ..., rt 〉. А. с. А = 〈 А, О, R〉 наз. универсальной алгеброй, или алгеброй, если множество R основных отношений ее является пустым, и моделью, или реляционной системой, если множество О основных операций ее пустое. Классическими А. с. являются группы, кольца, линейные пространства, линейные алгебры, линейно упорядоченные множества, линейно упорядояенные группы, линейно упорядояенные кольца, решетки и т. д. Непустое подмножество В основного множества А А. с. А = 〈 А, О, R〉 наз. замкнутым, если для любых элементов b1, ..., bni из В значение оi (a1, ..., ani) каждой основной операции оi ∈ O также принадлежит множеству В. Рассматривая операции из О и отношения из R на замкнутом подмножестве В, мы получим А. с. B = 〈 B, О, R〉, однотипную данной и наз. подсистемой А. с. A . Подсистемы алгебр наз. подалгебрами, а подсистемы моделей - подмоделями. Понятие подалгебры существенно зависит от множества основных операций рассматриваемой алгебры. Напр., группоид G есть алгебра типа 〈 2 〉, т. е. алгебра с одной основной операцией G × G → G. Группоид H с выделенной единицей е есть алгебра типа 〈 2, 0 〉, выделенный элемент к-рой обладает по отношению к основной операции о: H × H → H свойством о(е, h) = o(h, e) = h для всех h ∈ H. Поэтому всякий подгруппоид группоида H с выделенной единицей е содержит е, тогда как подгруппоид группоида 〈 Н, о〉 не обязан содержать элемент е. В отличие от алгебр, любое непустое подмножество модели может рассматриваться как подмодель. А. с. A изоморфна однотипной А. с. A ', если существует такое взаимно однозначное отображение φ множества А на множество А', что ![]()
(1) для всех а1, а2,... из А и для всех i ∈ I, j ∈ J. Отображение φ с этими свойствами наз. изоморфизмом.
Под классом алгебраич. систем понимается в дальнейшем только абстрактный класс, т. е. такой класс однотипных А. е., к-рый содержит с каждой системой А и все изоморфные ей системы. При рассмотрении того или иного класса Условия (1), (2) изоморфизма однотипных систем А, А ' упрощаются, если эти системы рассматривать в одной сигнатуре Ω. Так, если сигнатурными символами будут Fi (i ∈ I), Pj (j ∈ J), то (1), (2) примут вид ![]()
(3) Гомоморфизмом Ω-системы А в Ω-систему А ' наз. всякое отображение φ : А → А', удовлетворяющее условию (3) и условию ![]() (5) для всех Fi ∈ Ωf, Pj ∈ Ωp и для всех а1, а2,... из А . Гомоморфизм φ : А → А ' наз. сильным, если для любых элементов b1, ..., bmj из А' и для любого предикатного символа Pj из Ωp соотношение Pj (b1, ..., bmj) = И влечет существование в А таких прообразов a1, ..., amj элементов b1, ..., bmj, для к-рых Pj (b1, ..., bmj) = И. Понятия гомоморфизма и сильного гомоморфизма алгебр совпадают. Для моделей существуют гомоморфизмы, к-рые не являются сильными, и взаимно однозначные гомоморфизмы, к-рые не являются изоморфизмами. При гомоморфизме φ : А → А ' образами в А ' подсистем из А и непустыми полными прообразами в А подсистем из А ' являются подсистемы. Эквивалентность θ ⊆ А × А наз. конгруэнцией Ω-системы А, если ![]() для всех a1, b1, ..., ani, bni из А и для всех Fi ∈ Ωf . Для каждого гомоморфизма φ А. с. А бинарное отношение θ (а, b), истинное тогда и только тогда, когда φ (а) = φ (b), является конгруэнцией в А, к-рая наз. ядерной. Для произвольной конгруэнции θ Ω-системы А и для каждого элемента a ∈ А множество a/θ = {х ∈ А : θ (x, а)}, наз. смежным классом А. с. А по конгруэнции θ. Полагая для каждых Fi ∈ Ωf, Pj ∈ Ωp, ![]() и ![]() тогда и только тогда, когда существуют такие элементы c1, ..., cmj в А, что θ (b1, c1), ..., θ (bmj, cmj) и Pj (c1, ..., cmj), мы получим А. с. А /θ, однотипную данной и наз. факторсистемой А. с. А по конгруэнции θ. Для каждой конгруэнции θ А. с. А канонич. отображение φ (а) = а/θ (а ∈ А) является гомоморфизмом А. с. А на факторсистему А /θ, для которого данная конгруэнция θ ядерная. Если φ есть гомоморфизм А. с. А на А. с. А ' и θ-ядерная конгруэнция для φ, то отображение ψ (а/θ) = φ (а) является гомоморфизмом факторсистемы А /θ на А. с. А '. Если при этом гомоморфизм φ сильный, то ψ есть изоморфизм. Декартовым произведением Ω-систем Аα = 〈 Аα, Ω 〉 (α ∈ Λ ≠ ∅) наз. Ω-система D = 〈 D, Ω 〉, в к-рой D есть декартово произведение основных множеств Аα (α ∈ Λ), а основные операции и основные отношения на D задаются условиями: Fi (d1, ..., dni) (d1, ..., dni ∈ D, Fi ∈ Ωf) есть элемент d ∈ D с координатами d(α) = Fi (d1 (α), ..., dni (α)) (α ∈ Λ), Pj (d1, ..., dmj) = И (Pj ∈ Ωp) тогда и только тогда, когда Pj (d1 (α), ..., dmj (α)) = И для всех α ∈ Λ. Язык 1-й ступени. Основным формальным языком теории А. с. является язык 1-й ступени L, к-рый строится следующим образом. Алфавит языка L в заданной сигнатуре Ω = 〈 Ωf, Ωp, ν 〉, Ωf = {Fi ; i ∈ I}, Ωp = {Pj ; j ∈ J}, состоит из предметных переменных х1, х2, ..., функциональных символов Fi (i ∈ I), предикатных символов Pj (j ∈ J), символов логич. связок: ![]() кванторов: ∀ xk - «для каждого элемента хk », ∃ xk - «существует такой элемент хk » и вспомогательных символов: скобок и запятых. Для выражения свойств (1-й ступени) Ω-систем употребляются конечные последовательности алфавитных символов, или слова, составленные по определенным правилам и наз. термами и формулами. Индуктивно полагают, что каждое слово вида xk или Fi при ν (Fi) = 0 есть терм; если f1, ..., fn - термы и n = ν (Fi), то Fi (f1, ..., fn) - также терм. Если А есть Ω-система и f(х1, ..., хn) - терм сигнатуры Ω, содержащий предметные переменные х1, ..., хk, то, заменяя х1, ..., хk к.-н. элементами a1, ..., ak из А и выполняя над последними операции в А, соответствующие входящим в терм символам из Ωf, получают элемент f(a1, ..., ak) из А, называемый значением терма f(x1, ..., xk) при x1 = a1, ..., xk = ak . Если φ - гомоморфизм Ω-системы А в Ω-систему А ', то ![]() Понятие формулы сигнатуры Ω, свободных и связанных предметных переменных в ней определяется также индуктивно: 1) Если Р - какой-нибудь предикатный символ из Ω или знак равенства =, m = ν (Р) или 2 соответственно, а f1, ..., fm - произвольные термы сигнатуры Ω, то слово P(f1, ..., fm) есть формула, в к-рой все предметные переменные свободны.
2) Если
3) Если ![]() (6) - также формулы.
Предметные переменные, свободные (связанные) хотя бы в одной из формул
4) Если предметное переменное xk входит свободно в формулу
Если заданы Ω - система А и формула ![]() для всех a1, ..., ak из А.
Формула Теорема компактности или локальная теорема Гёделя-Мальцева. Если выполнима каждая конечная часть бесконечной совокупности S замкнутых формул какой-то сигнатуры Ω, то выполнима и вся совокупность S.
Аксиоматизируемые классы. Пусть S - некоторая совокупность замкнутых формул сигнатуры Ω. Класс всех Ω-систем, в к-рых истинны все формулы из S, будет обозначаться КS. Совокупность Th Наряду с общим понятием аксиоматизируемости рассматривают аксиоматизируемость при помощи формул 1-й ступени специального вида. Наиболее важными в алгебре специальными формулами заданной сигнатуры Ω являются: Тождества - формулы вида ![]() где Р - к.-л. предикатный символ из Ω или знак равенства =, а f1, ..., fm - термы сигнатуры Ω от х1, ..., хs . Квазитождества - формулы вида ![]() где P, ..., Q, R - нек-рые предикатные символы из Ωp или знаки равенства, a f1, ..., fk, g1, ..., gm, h1, ..., hn - термы сигнатуры Ω от х1, ..., хs .
Универсальные формулы - формулы вида (∀ х1), ..., (∀ хs) Если задано множество S тождеств (квазитождеств или универсальных формул) сигнатуры Ω, то класс KS наз. многообразием (квазимногообразием или универсальным классом) Ω-систем.
Теорема Биркгофа. Непустой класс Если А = 〈 A, Ω 〉 - некоторая Ω-система, то, заменяя каждый функциональный символ Fi из Ωf предикатным символом F*i арности ni + 1 (на 1 выше) и полагая для элементов a1, ..., ani, а из А ![]()
мы получим модель А * = 〈 A, Ω * 〉, для которой Ω *p = Ωp ∪ {F*i : Fi ∈ Ωf}. Подмодели модели А * наз. подмоделями Ω-системы А . Для любых непустых конечных подмножеств Аα ⊆ А, Ω *β ⊆ Ω * модель Аα β = 〈 Аα, Ω *β 〉 наз. конечным обеднением конечной подмодели Аα = 〈 Аα, Ω *〉 Ω-системы А . Ω-система А наз. локально вложимой в класс
Подкласс
Теорема Тарского-Лося. Подкласс Фильтрованные произведения. Пусть D = ∏ Аα - декартово произведение Ω-систем Аα (α ∈ Λ, Λ ≠ ∅) и Ф - некоторый фильтр над Λ. Отношение ![]() есть эквивалентность на основном множестве D Ω-системы D . Для каждого элемента d ∈ D пусть d/Ф есть смежный класс по этой эквивалентности и D/Ф = {d/Ф : d ∈ D}. Полагая ![]() можно получить Ω-систему D /Ф = (D/Ф, Ω), которая наз. фильтрованным по фильтру Ф произведением Ω-систем Аα (α ∈ Λ). Ω-системы Аα (α ∈ Λ) наз. сомножителями этого произведения. Если Ф - ультрафильтр над Λ, то фильтрованное произведение D /Ф наз. ультрапроизведением Ω-систем Аα (α ∈ Λ).
Теорема об ультрапроизведениях. Если D /Ф - ультрапроизведение Ω-систем Аα (α ∈ Λ) и ![]()
В частности, замкнутая формула Класс L Ω-систем универсально аксиоматизируем тогда и только тогда, когда он замкнут относительно подсистем и ультрапроизведений. Ω-система E = 〈 {е}, Ω 〉 наз. единичной, если ее основное множество состоит из одного элемента, скажем е, и Pj (e, ..., е) = И для всех Рj ∈ 8712; Ωp .
Теорема Мальцева. Класс
Полнота и категоричность. Непустой класс
Класс
Теорема Booта. Если аксиоматизируемый класс В частности, класс всех алгебраически замкнутых полей фиксированной характеристики является полным. См. также Алгебраической системы автоморфизм, Алгебраических систем квазимногообразие, Алгебраических систем класс, Алгебраических систем многообразие. Лит. : [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Grätzеr G., Uneversal algebra, Princeton, 1968; [4] Веll J. L., Slomson А. В., Models and ultraproducts, Amst. - L., 1969; [5] Chang С. С, Кeisler H. J., Model theory, Amst. - N. Y., 1973. Д. M. Смирнов. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |