АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКАЯ КРИВА`Я

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ - алгебраическое многообразие размерности 1. А. к. является наиболее изученным объектом алгебраической геометрии. В дальнейшем под А. к. понимается, как правило, неприводимая А. к. над алгебраически замкнутым полем.

Наиболее простым и интуитивно ясным является понятие плоской аффинной А. к. Это - множество точек аффинной плоскости А²_k, удовлетворяющих уравнению f (х, у) = 0, где f(x, у) - многочлен с коэффициентами из алгебраически замкнутого поля k. Поле рациональных функций неприводимой А. к. над k есть поле алгебраич. функций одного переменного и имеет вид k(х, у), где х и у связаны уравнением f(x, у) = 0, а f(x, у) - многочлен над k. Это означает, что всякая А. к. бирационально изоморфна плоской аффинной кривой.

Уже давно было замечено, что даже при изучении аффинных кривых глубокие закономерности удается вскрыть только при учете бесконечно удаленных точек и детальном исследовании особенностей. Для изучения всех точек аффинной кривой ее погружают в проективное пространство Рп с последующим замыканием в Зариского топологии. Таким образом получается проективная кривая X, причем исходная аффинная кривая У может быть получена из X выбрасыванием конечного числа точек. Если Y неприводима, то X и Y бирационально изоморфны. Каждая полная А. к. является проективной. Если X - гладкая проективная кривая (г. п. к.), то все кольца нормирования поля k(х) исчерпываются локальными кольцами О_x, х ∈ Х. Если две г. п. к. бирационально эквивалентны, то они изоморфны. Нормальная А. к. является гладкой. В частности, всякая неприводимая А. к. бирационально эквивалентна г. п. к. Полуяаемая в процессе нормализации гладкая проективная модель А. к. лежит в нек-ром пространстве Рⁿ . Любая г. п. к. изоморфна кривой, расположенной в Р³ . Каждая плоская А. к. кремоновым преобразованием может быть преобразована в кривую с обыкновенными особыми точками.

Дивизоры на гладкой А. к. представляют собой линейные комбинации точек с целыми коэффициентами

n_x = 0 почти для всех х. Если все n_x ≥ 0, то дивизор D наз. положительным, или эффективным, что обозначается D ≥ 0. Степенью дивизора D наз. число

Главные дивизоры образуют подгруппу Р(X) группы Div X всех дивизоров на X. Факторгруппа Div X/Р(X) наз. группой классов дивизоров и обозначается через Сl(А). Группа Сl(А) изоморфна группе Pic (X) классов одномерных векторных расслоений на X (см. Векторное алгебраическое расслоение). Степень главных дивизоров на г. п. к. равна нулю, поэтому все дивизоры из одного класса имеют одну и ту же степень. В частности, можно говорить о степени класса дивизоров и о подгруппе Сl⁰ (Х) классов дивизоров степени 0. Справедливо следующее равенство:

Для прямой Р¹, Cl(P¹) = ℤ, Сl⁰ (Р¹) = 0, т. е. любой дивизор степени 0 является главным. Это свойство характерно для рациональных г. п. к.

Для любой полной А. к. X число π = dim H¹ (А, О_X) наз. арифметическим родом А. к. X. Если X - гладкая, то π совпадает с размерностью пространства Н⁰ (Х, Ω¹_x) всех регулярных дифференциальных форм на X, эта размерность наз. родом А. к. X. По определению, род А. к. равен роду ее неособой модели. Для любого неотрицательного целого числа g существует А. к. рода g. Рациональные кривые характеризуются равенством g = 0. Если X проективная плоская кривая порядка m, то

а ее род вычисляется по формуле:

где d - неотрицательное целое число, измеряющее отклонение от гладкости на X. Если X имеет только обыкновенные двойные точки, то d есть просто число особых точек.

В частности, плоская г. п. к. имеет род

откуда следует, что не всякая г. п. к. является плоской. Для пространственной кривой X имеет место оценка

где n - степень X. Кривые n-й степени максимального рода существуют для каждого значения n и лежат на квадрике (М. Альфан, М. Alphen, 1870, см. [8]).

Степень канонич. класса К_X г. п. к. X связана с родом кривой формулой deg K_X = 2g - 2. Если г. п. к. X лежит на гладкой алгебраич. поверхности F, то имеет место формула присоединения: К_X = Х(Х + K_F). В частности, deg К_X = (X)² + (X• K_F). Для произвольного дивизора D на X можно рассмотреть подмножество поля k(X), состоящее из нуля и тех функций f, для к-рых (f) + D ≥ 0. Это - линейное пространство над к конечной размерности l(D). Размерность полной линейной системы, определяемой дивизором D, равна l(D) - 1. Вычисление размерности l(D) является важной задачей теории А. к. Наиболее сильный результат в этом направлении - Римана-Роха теорема. Для г. п. к. эта теорема заключается в равенстве:

l(D) - l(K - D) = deg D - g + 1,

где g - род кривой X. В случае, когда l(K - Z)) < 0 (соответственно l(K - D) = 0), говорят, что дивизор D специальный (соответственно неспециальный). Для неспециальных дивизоров теорема Римана-Роха дает равенство l(D) = deg(D) - g + 1; Каждый дивизор степени большей 2g - 2 является неспециальным.

Класс дивизоров, линейно эквивалентных дивизору D на г. п. к. X, определяет Точку на Якоби многообразии J(X) А. к. X. Это многообразие совпадает с Альбанезе многообразием и Пикара многообразием А. к. X. Точки, соответствующие классам специальных дивизоров, есть особые точки Пуанкаре дивизора на J(X). Если G^r_n обозначает подмножество точек J(X), соответствующих классам дивизоров D с deg D = n и l(D) = r, то G^r_n образует подсхему в J(X) и

(теорема Римана-Брилля-Нётера). Эта теорема имеет многочисленные применения, одним из к-рых является следующее. Всякий дивизор D, для к-рого l(D) ≥ 1, определяет рациональное отображение кривой А в проективное пространство P^{l(D) - 1}, Отображение φ_D зависит от класса D. Если deg D ≥ 2g + 1, то φ_D определяет изоморфное вложение кривой X в Р^m, причем φ_D (Х) не содержится ни в каком собственном подпространстве пространства Р^m (m = l(D) - 1). Наиболее интересным с точки зрения бирациональной классификации кривых являются отображения φ, соответствующие кратности nK канонич. класса кривой X. При g > 1 класс 3K определяет изоморфное вложение г. п. к. в Р^{5g - 6} . При этом кривые X и X' бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы φ_3K (X) и φ_3K (Х') получаются друг из друга проективным преобразованием пространства Р^{5g - 6} . Исследование отображения φ_K позволило получить более тонкую характеристику кривых рода g > 1. Для этих кривых отображение φ_K : X → Р^{g - 1} будет изоморфным вложением в том и только том случае, когда А не является гиперэллиптической кривой. В случае, когда φ_K - изоморфизм, кривая φ_K (X) наз. канонической; она определена однозначно с точностью до проективных преобразований в Р^{g - 1} . Важнейшей задачей теории А. к. является классификация кривых с точностью до бирационального изоморфизма. В этом направлении получен ряд сильных результатов, но исчерпывающего решения задачи пока (1977) не имеется. Г. п. к. можно разбить на следующие 4 класса:

1) кривые рода 0 бирационально эквивалентны Р';

2) кривые рода 1 (эллиптич. кривые) бирационально эквивалентны гладкой кубической кривой в Р² ;

3) гиперэллиптич. кривые;

4) негиперэллиптич. кривые рода g > l бирационально эквивалентны канонич. кривой в Р^{g - 1} (А. к. основного типа).

Род кривой не характеризует полностью бирациональный класс А. к. Единственное исключение составляют кривые рода 0. В случае, когда к есть поле комплексных чисел ℂ, множество классов изоморфных друг другу эллиптич. кривых описывается точками факторпространства H/G, где Н - верхняя полуплоскость, G - модулярная группа, состоящая из дробно-линейных преобразований с целыми коэффициентами и определителем, равным + 1. Пространство H/G имеет строение аналитич. многообразия, изоморфного ℂ (см. Эллиптическая кривая). Классы бирационально эквивалентных кривых рода g > 1 описываются точками некоторого алгебраич. многообразия М_g размерности 3g - 3, называемого многообразием модулей кривых рода g. Это многообразие неприводимо. Есть гипотеза, что М_g унирационально, но она доказана только для g < 11 (Ф. Севери, F. Severi).

Имеют место следующие результаты о группе Aut (X) автоморфизмов г. п. к. X. 1) Если X есть Р¹_k, то Aut (X) - группа дробно-линейных преобразований PGL(1, k). 2) Если X - эллиптическая кривая, то Aut (X) есть алгебраич. группа, связная компонента единицы к-рой совпадает с группой точек Х(k). 3) Если X - кривая рода g > 1, то Aut (X) всегда конечная группа. Ее порядок ограничен числом 84(g - 1) (см. [6]). В последнем случае важную роль при изучении группы Aut (X) играют Вейерштрасса точки на X.

Другой способ изучения группы Aut(X) дает тот факт, что каждая г. п. к. является конечным (разветвленным) накрытием проективной прямой.

Пусть X - г. п. к., определенная над полем ℂ. Множество точек кривой X(ℂ) снабжается естественным строением одномерного компактного аналитич. многообразия, к-рое наз. также компактной римановой поверхностью. Обратное тоже верно, т. е. всякая компактная риманова поверхность может быть получена из нек-рой г. п. к. Обычно употребляется один и тот же символ X для обозначения г. п. к. и соответствующего ей одномерного комплексного многообразия. Всякое связное комплексное многообразие представимо в виде фактора X̃ /G, где X̃ - связное односвязное комплексное многообразие, G - группа автоморфизмов многообразия X, действующая на X̃ дискретно и свободно. Весьма примечательно, что одномерных связных односвязных аналитических многообразий, с точностью до изоморфизма, всего три. Это - проективная прямая ℂ Р¹ (риманова сфера), аффинная прямая ℂ (конечная плоскость) и внутренность единичного круга D = {z, |z| < 1} (плоскость Лобачевского). Все г. п. к. можно разбить на три класса в зависимости от того, к какому из трех типов относится их универсальная накрывающая.

Вопрос о классификации г. п. к. данного типа сводится к изучению дискретных групп преобразований универсальных накрывающих, действующих свободно с относительно компактной фундаментальной областью. В случае проективной прямой G - единичная группа; в случае аффинной прямой G изоморфна подгруппе Ω аддитивной группы ℂ, являющейся двумерной решеткой в ℂ ; в случае внутренности единичного круга G - подгруппа движений в плоскости Лобачевского, определяемая нек-рым неевклидовым ограниченным многоугольником. Таким образом, первый класс содержит единственную кривую Р¹, второй класс состоит из комплексных торов ℂ /Ω, и все они имеют строение одномерного абелевого многообразия (эллиптич. кривой), причем сложение точек на торе определяет групповую структуру на соответствующей кривой. Всякая гладкая эллиптич. кривая получается таким образом. Поле рациональных функций С (X) на эллиптич. кривой X ≅ ℂ /Ω изоморфно полю мероморфных двоякопериодических (эллиптических) функций с группой периодов Если f(x, y) = 0 - уравнение аффинной модели кривой X, то существует его параметризация х = φ (z), y = ψ (z) эллиптич. функциями (униформизация кривой X). Третий класс состоит из всех г. п. к. X рода g > 1. Поле С (X) в этом случае изоморфно полю мероморфных на D функций, инвариантных относительно группы G. Такие функции наз. автоморфными. Любая А. к. рода g > 1 униформизуется автоморфными функциями (см. Униформизация). Задача классификации эллиптич. кривых также приводила к рассмотрению фактора D/G, но там ситуация существенно отличалась от только что рассмотренной. Во-первых, группа G имела неподвижные точки в D, во-вторых, многообразие D/G было некомпактным, хотя обладало конечной площадью по Лобачевскому. Рассмотренпе в общем случае таких групп и соответствующих факторов играет важную роль в современных арифметич. исследованиях.

Если А. к. X определена над незамкнутым полем k, то одним из важнейших является вопрос о существовании и нахождении рациональных точек X (k) кривой X. Для г. п. к. А над конечным полем к доказано неравенство |N - q - 1| ≤ 2g√q, где N - число точек кривой X, рациональных над конечным расширением L поля k, q - число элементов поля L, a g - род кривой X. Это неравенство эквивалентно гипотезе Римана о нулях ζ - функции кривой X - все нули ζ - функции лежат на вертикальной прямой σ = 1/2 (см. Дзета-функция в алгебраич. геометрии).

Пусть теперь X - А. к., определенная над полем рациональных чисел ℚ. Тогда для кривых рода 0 точки X(ℚ) находятся сравнительно легко, для эллиптич. кривых рациональные точки составляют группу с конечным числом образующих (если X(ℚ) не пусто), для кривых рода g ≥ 2 имеется пока не доказанная (1977) Морделла гипотеза о том, что X(ℚ) конечно.

Если основное поле k есть поле рациональных функций k₀ (В) г. п. к. В, то каждая г. п. к. А над k изоморфна общему слою Х_η морфизма f : V → B гладкой проективной алгебраич. поверхности V над k₀ . Этот морфизм будет однозначно определен, если потребовать, чтобы в его слоях не было исключительных кривых рода 1. Множество рациональных точек X(k) находится в биективном соответствии с множеством сечений V(В) морфизма f и Х(k) конечно для кривых рода g ≥ 2. Кривые рода 0 и 1 над полем k₀ (В) изучаются в теории алгебраич. поверхностей (см. Эллиптическая поверхность, Линейчатая поверхность).

Лит. : [1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [2] Уокер Р., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; [3] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [4] Шевалле К., Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной, пер. с англ., М., 1959; [5] Серр Ж.-П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [6] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. - Л., 1948; [7] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [8] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 77-170.

В. Е. Воскресенский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.