АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКАЯ ГРУ`ППА ПРЕОБРАЗОВА`НИЙ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ - алгебраическая группа G, действующая регулярно на алгебраич. многообразии V. Точнее, А. г. п. есть тройка (G, V, τ), где τ : G × P → V(τ (g, x) = gx) - морфизм алгебраич. многообразий, удовлетворяющий условиям: ех = х, g(hx) = (gh)x для всех x ∈ V и g, h ∈ G (е - единица G). Если G, V и τ определены над полем k, то (G, V, τ) наз. алгебраич. группой k-преобразований. Напр., (G, G, τ), где τ - присоединенное действие или действие посредством сдвигов, является А. г. п. Если G - алгебраич. подгруппа в GL(n), τ - ее естественное действие в аффинном пространстве V = kⁿ, то (G, V, τ) - А. г. п. Для всякой точки x ∈ V через G(x) = (gx|g ∈ G) обозначается орбита х, а через G_x = {g ∈ G|gx = x} - стабилизатор х. Орбита G(x) не обязательно замкнута в V, но всегда существуют замкнутые орбиты, напр. замкнутые орбиты минимальной размерности. Иногда под А. г. п. понимается алгебраич. группа G, действующая рационально (но не обязательно регулярно) на алгебраич. многообразии V (это значит, что τ : G × V₁ → V - рациональное отображение, а выписанные выше свойства τ выполнены для общих точек). Как показал А. Вейль [3], всегда существует многообразие V¹, бирационально изоморфное V и такое, что действие G на V¹, индуцированное рациональным действием G на V, регулярно. Задачи описания орбит, стабилизаторов, полей инвариантных рациональных функций (см. Инвариантов теория) и построения фактормногообразий являются основными в теории А. г. п. и имеют многочисленные применения.

Лит. : [1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д., Геометрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974; [3] Weil А. ; «Атег. J. Math. », 1955, v. 77,, V» 2, p. 355-91.

В. П. Платонов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.