АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА

Расстановка ударений: АЛГЕБРАИ`ЧЕСКАЯ ГРУ`ППА

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА - группа G, наделенная структурой алгебраического многообразия, в к-рой умножение G × GG и переход к обратному элементу GG являются регулярными отображениями (морфизмами) алгебраич. многообразий. А. г. наз. определенной над полем k, если ее алгебраич. многообразие, а также морфизм μ и ν определены над k. В этом случае множество k-рациональных точек многообразия G является абстрактной группой, к-рая обозначается G_k . А. г. наз. связной, если ее алгебраич. многообразие связно. Размерностью А. г. наз. размерность ее алгебраич. многообразия. В дальнейшем рассматриваются только связные А. г. Подгруппа H А. г. G наз. алгебраической, если она является замкнутым подмногообразием алгебраич. многообразия G. Для таких подгрупп пространство классов смежности (левых или правых) может быть естественным образом наделено структурой алгебраич. многообразия, обладающей универсальным свойством (см. Фактор-пространство алгебраической группы). Если подгруппа H, кроме того, нормальна, то факторгруппа G/H является А. г. относительно указанной выше структуры; она наз. алгебраической факторгруппой. Гомоморфизм А. г. наз. алгебраическим, если φ-морфизм их алгебраич. многообразий; если φ определен над k, то он наз. k-гомоморфизмом. Аналогично определяется k-изоморфизм А. г.

Примеры А. г. : полная линейная группа GL(n, к)-группа всех обратимых матриц порядка n с коэффициентами в фиксированном алгебраически замкнутом поле k, группа треугольных матриц, эллиптическая кривая.

Существуют два основных типа А. г., совершенно различных по своим свойствам: абелевы многообразия и линейные алгебраические группы; при этом принадлежность А. г. к одному из этих типов определяется исключительно свойствами многообразия группы. А. г. наз. абелевым многообразием, если ее алгебраич. многообразие полное. А. г. наз. линейной А. г., если она изоморфна алгебраич. подгруппе полной линейной группы. А. г. является линейной тогда и только тогда, когда ее алгебраич. многообразие аффинно. Эти два класса А. г. имеют тривиальное пересечение: если А. г. есть одновременно абелево многообразие и линейная группа, то она единичная группа. Изучение произвольных А. г. в значительной степени сводится к изучению абелевых многообразий и линейных групп. Именно, в произвольной А. г. существует единственная нормальная линейная алгебраич. подгруппа Н такая, что факторгруппа G/H есть абелево многообразие. Многочисленные примеры А. г., не являющихся ни линейными А. г., ни абелевыми многообразиями, дает теория обобщенных Якоби многообразий для алгебраич. кривых с особенностями (см. [4]). Естественное расширение класса алгебраич. групп приводит к понятию групповой схемы.

Лит. : [1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972: [2] Мамфорд Д., Абелевы многообразия, пер. с англ., М., 1971; [3] Серр Ж.-П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [4] Шевалле К., Теория алгебраических групп, в кн. : Международный математический конгресс в Эдинбурге, М., 1962; [5] Demazure М., Grothendieck A., Shemas en groupes, t. 1-3, В. - Hdlb. - N. Y., 1970.

Б. Б. Венков, В. П. Платонов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.