ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàññòàíîâêà óäàðåíèé: ÀËÃÅÁÐÀÈ`×ÅÑÊÀß À`ËÃÅÁÐÀ

ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÀËÃÅÁÐÀ - àëãåáðà À ñ àññîöèàòèâíûìè ñòåïåíÿìè (â ÷àñòíîñòè, àññîöèàòèâíàÿ) íàä ïîëåì F, âñå ýëåìåíòû ê-ðîé ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè (ýëåìåíò à ∈ À íàç. àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè ïîðîæäåííàÿ èì ïîäàëãåáðà F[a] êîíå÷íîìåðíà, èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî, ýëåìåíò à îáëàäàåò àííóëèðóþùèì ìíîãî÷ëåíîì ñ êîýôôèöèåíòàìè èç îñíîâíîãî ïîëÿ F). Àëãåáðà À íàç. À. à. îãðàíè÷åííîé ñòåïåíè, åñëè îíà àëãåáðàè÷åñêàÿ è ñòåïåíè ìèíèìàëüíûõ àííóëèðóþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ åå ýëåìåíòîâ îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè. Ïîäàëãåáðà è ãîìîìîðôíûé îáðàç À. à. (îãðàíè÷åííîé ñòåïåíè) ÿâëÿþòñÿ À. à. (îãðàíè÷åííîé ñòåïåíè).

Ïðèìåðû À. à. : ëîêàëüíî êîíå÷íûå àëãåáðû (â ÷àñòíîñòè, êîíå÷íîìåðíûå), íèëüàëãåáðû, àññîöèàòèâíûå òåëà ñî ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì îáðàçóþùèõ íàä íåñ÷åòíûì ïîëåì.

Ðàññìàòðèâàåìûå íèæå àëãåáðû ïðåäïîëàãàþòñÿ àññîöèàòèâíûìè. Äæåêîáñîíà ðàäèêàë À. à. ÿâëÿåòñÿ íèëüèäåàëîì. Ïðèìèòèâíàÿ À. à. À èçîìîðôíà ïëîòíîé àëãåáðå ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä òåëîì, åñëè ïðè ýòîì À îãðàíè÷åííîé ñòåïåíè, òî À èçîìîðôíà êîëüöó ìàòðèö íàä òåëîì. À. à. áåç íåíóëåâûõ íèëüïîòåíòûõ ýëåìåíòîâ (â ÷àñòíîñòè, òåëî) íàä êîíå÷íûì ïîëåì êîììóòàòèâíà. Îòñþäà ñëåäóåò êîììóòàòèâíîñòü êîíå÷íûõ òåë. À. à. îãðàíè÷åííîé ñòåïåíè óäîâëåòâîðÿåò ïîëèíîìèàëüíîìó òîæäåñòâó (PI-àëãåáðà). Àëãåáðàè÷åñêàÿ PI-àëãåáðà ëîêàëüíî êîíå÷íà. Åñëè îñíîâíîå ïîëå íåñ÷åòíî, òî àëãåáðà, ïîëó÷åííàÿ èç À. à. ðàñøèðåíèåì îñíîâíîãî ïîëÿ, à òàêæå òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå À. à., ñóòü À. à.

Ëèò. : [1] Äæåêîáñîí Í., Ñòðîåíèå êîëåö, ïåð. ñ àíãë., Ì 1961; [2] Õåðñòåéí È., Íåêîììóòàòèâíûå êîëüöà, ïåð. ñ àíãë., Ì., 1972.

Â. Í. Ëàòûøåâ.

Èñòî÷íèêè:

1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ Ýíöèêëîïåäèÿ. Ò. 1 (À - Ã). Ðåä. êîëëåãèÿ: È. Ì. Âèíîãðàäîâ (ãëàâ ðåä) [è äð.] - Ì., «Ñîâåòñêàÿ Ýíöèêëîïåäèÿ», 1977, 1152 ñòá. ñ èëë.