АЛГЕБРА С ДЕЛЕНИЕМ

Расстановка ударений: А`ЛГЕБРА С ДЕЛЕ`НИЕМ

АЛГЕБРА С ДЕЛЕНИЕМ - алгебра А над полем F, для любых элементов а ≠ 0 и b к-рой уравнения ах = b, уа = b разрешимы в А. Ассоциативная А. с д., рассматриваемая как кольцо, является телом, а ее центр С - полем и C ⊇ F. Если C = F, то А. с д. А наз. центральной А. с д. Конечномерные центральные ассоциативные А. с д. над F, рассматриваемые с точностью до изоморфизма, можно отождествить с элементами Брауэра группы в (F) поля F. Пусть [А : F] обозначает размерность A над F. Если А ∈ B (F) и L - максимальное подполе в A (L ⊇ F), то [А : F] = [L : F]² . Согласно Фробениуса теореме, все ассоциативные конечномерные А. с д. над полем действительных чисел R исчерпываются самим R, полем комплексных чисел и алгеброй кватернионов. Поэтому группа B(R) является циклической порядка 2. При отказе от ассоциативности появляется еще один пример А. с д. над полем действительных чисел - Кэли-Диксона алгебра. Эта алгебра альтернативна и имеет размерность 8 над R. Если А - конечномерная (не обязательно ассоциативная) А. с д. над R, то [А : R] имеет одно из следующих значений: 1, 2, 4, 8.

Лит. : [1] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [2] Аlbеrt A. A., Structure of algebras, 3 ed., Providence, [1968]; [3] Xepстeйн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [4] Адамс Дж. Ф., «Математика», 1961, т. 5, № 4, с. 3-86.

Е. Н. Кузьмин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.