АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ

Расстановка ударений: А`ЛГЕБРА МНО`ЖЕСТВ

АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ - непустая совокупность подмножеств нек-рого множества Ω, замкнутая относительно теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, образования дополнения), производимых в конечном числе. Для того чтобы нек-рый класс подмножеств множества Ω был А. м., достаточно (и необходимо), чтобы он был замкнут относительно образования объединений и дополнений. А. м., замкнутая относительно образования счетных объединений, наз. σ-алгеброй множеств (σ-А. м.). Всякая σ-А. м. замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе.

Примеры. 1) Совокупность конечных подмножеств произвольного множества Ω и дополнений к ним есть А. м. ; совокупность не более чем счетных подмножеств Ω и дополнений к ним есть σ-А. м.

2) Совокупность конечных объединений интервалов вида

образует А. м.

3) Ω - топологич. пространство; σ-А. м. В, порожденная открытыми подмножествами й (иными словами, наименьшая σ-А. м., содержащая все открытые подмножества Ω), наз. борелевской σ-алгеброй подмножеств Ω, а множества, принадлежащие В, наз. борелевскими множествами.

4) Ω = ℝ^T, где Т - произвольное множество (т. е. Ω - множество всех действительных функций на Т); класс А множеств вида

где Е - борелевское подмножество ℝ^k, образует А. м. ; в теории случайных процессов вероятностная мера часто задается первоначально лишь для множеств из алгебры этого типа и затем доопределяется на более широком классе множеств (на σ-алгебре, порожденной А).

5) Совокупность измеримых по Лебегу подмножеств ℝ^k образует σ-А. м.

Алгебры (соответственно σ-алгебры) являются естественной областью определения конечно аддитивных (соответственно σ-аддитивных) мер. По теореме о продолжении меры всякая σ-конечная σ-аддитивная мера, заданная на алгебре А, может быть однозначно продолжена до σ-аддитивной меры, определенной на σ-алгебре, порожденной А.

Лит. : [1] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [2] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969.

В. В. Сазонов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.