АЛГЕБРА МЕР

Расстановка ударений: А`ЛГЕБРА МЕ`Р

АЛГЕБРА МЕР - алгебра М(G) комплексных регулярных борелевских мер на локально компактной абелевой группе G, имеющих ограниченную вариацию, с обычными линейными операциями и сверткой в качестве умножения (см. Гармонический анализ абстрактный). Свертка λ *μ мер λ, μ ∈ M(G) полностью определяется из условия, что для любой непрерывной функции f на G с компактным носителем

Если за норму в М(G) принять полную вариацию меры, то М (G) становится коммутативной банаховой алгеброй над полем комплексных чисел. А. м. М (G) обладает единицей, к-рой служит δ-мера, сосредоточенная в нуле группы. Совокупность дискретных мер, содержащихся в M(G), образует замкнутую подалгебру.

Каждой функции f, принадлежащей групповой алгебре L¹ (G), может быть поставлена в соответствие мера μ_f ∈ M(G) по правилу

(интеграл по мере Хаара). При этом возникает изометрическое изоморфное вложение L¹ (G) → M(G). Образ при этом вложении является замкнутым идеалом в M(G).

Преобразованием Фурье-Стилтьеса меры μ ∈ M(G) наз. функция μ̂ на двойственной группе , определяемая формулой:

При этом λ *μ̂ = *μ̂ и ||μ || = 0, если μ̂ ≡ 0. В частности, М(G) есть алгебра без радикала.

Если группа G не дискретна, то А. м. М(G) устроена весьма сложно: она не симметрична, и ее пространство максимальных идеалов обладает рядом патологич. свойств. Напр., это пространство содержит бесконечномерные аналитич. образования, а естественно вложенная в него группа G^ не плотна даже в границе Шилова. Вместе с тем известны идемпотентные меры, т. е. такие, что μ *μ = μ. Каждая идемпотентная мера есть конечная целочисленная комбинация n₁ μ₁ + ... + n_k μ_k, где μ_i = χ_i ν_i, причем ν_i - мера Хаара компактной подгруппы, а χ_i - характер. В случае G = ℤ это приводит к тому, что последовательность (с_m) из 0 и 1 тогда и только тогда есть преобразование Фурье-Стилтьеса нек-рой меры на окружности, когда (с_m) не более чем в конечном числе членов отличается от периодич. последовательности.

В общем случае теорема об идемпотентных мерах допускает естественную интерпретацию в терминах нульмерных когомологий пространства максимальных идеалов. Удовлетворительное описание известно и Для других групп когомологий пространства максимальных идеалов А. м., что, в частности, позволяет судить о возможности логарифмировать обратимую меру из М(G) (одномерные целочисленные когомологий).

Лит. : [1] Rudin W., Fourier analysis on groups, N. Y. - L., 1962; [2] Tауlоr J. L., «Acta math. », 1971, v. 126, № 3-4, P. 195-225.

E. А. Горин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.