Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




С*-АЛГЕБРА

Расстановка ударений: С*-А`ЛГЕБРА

С*-АЛГЕБРА - банахова алгебра А над полем комплексных чисел, снабженная такой инволюцией, x → x*, х ∈ А, что норма и инволюция связаны соотношением ||х* х|| = ||x||2 для любого элемента х ∈ А. С*-А. были введены в 1943 (см. [1]) под назв. вполне регулярных колец, их наз. также B*-алгебрами.

Важнейшие примеры С*-А. 1) Алгебра С0 (Х) непрерывных комплекснозначных функций на локально компактном хаусдорфовом пространстве X, стремящихся к нулю на бесконечности (т. е. таких непрерывных функций f на X, что для любого ε > 0 множество точек х ∈ Х, удовлетворяющих условию |f(x)| ≥ ε, компактно в X); С0 (Х) снабжается равномерной нормой

инволюция в С0 (Х) определяется как переход к комплексно сопряженной функции: f* (x) = f¯ (х). Любая коммутативная С*-А. А изометрически и симметрически изоморфна С*-А. (т. е. изоморфна как банахова алгебра А с инволюцией) С0 (Х), где X - пространство максимальных идеалов алгебры А, снабженное топологией Гельфанда (см. [1], [2], [3]).

2) Алгебра L(Н) всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н, рассматриваемая относительно обычных линейных операций и умножения операторов; инволюция в L(Н) определяется как переход к сопряженному оператору, норма - как обычная норма оператора.

Подмножество M ⊂ A наз. самосопряженным, если М = М*, где М* = {х*, х ∈ М}. Любая замкнутая самосопряженная подалгебра В С*-А. А является С*-А. относительно линейных операций, умножения, инволюции и нормы, заимствованных из А; В наз. С*-подалгеброй А. Всякая С*-А. изометрически и симметрически изоморфна С*-подалгебре нек-рой С*-А. вида L(Н). Любой замкнутый двусторонний идеал I в С*-А. А самосопряжен (поэтому I есть С*-подалгебра А), факторалгебра A/I, снабженная естественными линейными операциями, умножением, инволюцией и нормой факторпространства, есть С*-А. Множество К(Н) вполне непрерывных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н есть замкнутый двусторонний идеал в L(H). Если А есть С*-А., Ã - алгебра с инволюцией, получаемая из А присоединением единичного элемента, то на Ã существует единственная норма, превращающая Ã в С*-А. и продолжающая норму на А. Кроме того, для С*-А. определены операции ограниченной прямой суммы и тензорного произведения (см. [3], [4]).

Как и во всякой симметрияной банаховой алгебре, в С*-А. А можно выделить подмножества: действительное линейное пространство Аh эрмитовых элементов; множество нормальных элементов; мультипликативную группу U унитарных элементов (если А содержит единичный элемент); множество А + положительных элементов. Множество А+ есть замкнутый конус в Ah, А+ ∪ (- А)+ = {0}, А+ - А+ = Ah, и конус А+ превращает Аh в упорядоченное действительное векторное пространство. Если А содержит единичный элемент 1. то 1 - внутренняя точка конуса A+ ⊂ Ah . Линейный функционал на А наз. положительным, если f(x) ≥ 0 для всех х ∈ А+ ; такой функционал непрерывен. Если х ∈ В, где В есть С*-подалгебра А, то спектр элемента х в В совпадает со спектром х в А. Спектр эрмитова элемента действителен, спектр унитарного элемента лежит на единичной окружности, спектр положительного элемента неотрицателен. Построено функциональное исчисление для нормальных элементов С*-А. Любая С*-А. А имеет аппроксимативную единицу, лежащую в единичном шаре алгебры А и образованную положительными элементами из А. Если I, J - замкнутые двусторонние идеалы в А, то I + J - замкнутый двусторонний идеал в А и (I + J)+ = I+ + J+, Если I - замкнутый двусторонний идеал в J, J - замкнутый двусторонний идеал в А, то I - замкнутый двусторонний идеал в А. Всякий замкнутый двусторонний идеал есть пересечение содержащих его двусторонних примитивных идеалов; всякий замкнутый левый идеал в А - есть пересечение содержащих его максимальных регулярных левых идеалов.

Любой *-изоморфизм С*-А. является изометрическим. Любой *-гомоморфизм π банаховой алгебры с инволюцией В в С*-А. А непрерывен и ||π (x)|| ≤ ||x|| для всех х ∈ В. В частности, все представления банаховой алгебры с инволюцией (т. е. *-гомоморфизм В в С*-А. вида L(Н)) непрерывны. Теория представлений С*-А. составляют существенную часть теории С*-А., и приложения теории С*-А. связаны именно с теорией представлений С*-А. Свойства представлений С*-А. позволяют построить для каждой С*-А. А топологич. пространство Â, наз. спектром С*-А., и снабдить это пространство Макки борелевской структурой. Спектр С*-А., вообще говоря, не удовлетворяет никаким аксиомам отделимости, но является локально бикомпактным Бэра пространством.

С*-А. А наз. CCR-aлгеброй (соответственно GCR-алгеброй), если для любого ненулевого неприводимого представления π С*-А. А в гильбертовом пространстве Н выполняется соотношение π (А) = K(Нπ) (соответственно π (A) ⊃ K(Нπ)).

С*-А. наз. NGCR-алгеброй, если А не содержит ненулевых замкнутых двусторонних GСR-идеалов (т. е. идеалов, являющихся GСR-алгебрами). Любая С*-А. А содержит максимальный двусторонний GCR-идеал I, и факторалгебра А/I есть АGСR-алгебра. Всякая GСR-алгебра содержит возрастающее семейство замкнутых двусторонних идеалов Iα, занумерованных порядковыми числами α, α ≤ ρ, такое, что Iρ = А, I1 = {0}, Iα + 1 /Iα есть ССR-алгебра при всех α < ρ, и Iα = ∪α ' < α Iα ' для предельных порядковых чисел α. Спектр GCR-алгебры содержит открытое всюду плотное отделимое локально бикомпактное подмножество.

С*-А. А наз. С*-алгеброй типа I, если для любого представления π С*-А. А в гильбертовом пространстве Hπ Неймана алгебра, порожденная семейством π (А) в Нπ, есть алгебра Неймана типа I. Для С*-А. А следующие условия эквивалентны: а) А есть С*-А. типа I; б) А есть GСR-алгебра; в) любое факторпредставление С*-А. А кратно неприводимому. Если А удовлетворяет этим условиям, то: 1) неприводимые представления С*-А. А эквивалентны тогда и только тогда, когда их ядра совпадают; 2) спектр С*-А. А есть T0 - пространство. Если А - сепарабельная С*-А., то каждое из условий 1) и 2) эквивалентно условиям а)-в). В частности, всякая сепарабельная С*-А., имеющая единственное с точностью до эквивалентности неприводимое представление, изоморфна С*-А. K(H) для нек-рого гильбертова пространства Н.

Пусть А есть С*-А., Р - множество таких элементов х ∈ А, что функция π → Trπ (х) конечна и непрерывна на спектре С*-А. А. Если линейная оболочка множества Р всюду плотна в А, то А наз. С*-А. с непрерывным следом. Спектр таких С*-А. отделим, и при нек-рых дополнительных условиях С*-А. с непрерывным следом можно представить в виде алгебры вектор-функций на спектре А (см. [3]).

Пусть А есть С*-A., F - множество положительных линейных функционалов на A с нормой ≤ 1, Р (А) - множество ненулевых крайних точек выпуклого множества F. Тогда Р(А) - множество чистых состояний С*-А. А (см. Представления симметричных алгебр). Пусть В есть С*-подалгебра А. Если А есть GСR-алгебра и В разделяет точки множества Р(А) ∪ {0}, т. е. для любых f1, f2 ∈ P(A) ∪ {0}, f1 ≠ f2, существует х ∈ В такой, что f1 (x) ≠ f2 (x), то В = А (теорема Стоуна-Вейерштрасса). Если А - произвольная С*-А. и В разделяет точки множества Р¯ (A) ∪ {0}, то В = А.

Второе сопряженное пространство А** с С*-А. А естественным образом снабжается операцией умножения, превращающей А** в С*-А., изоморфную нек-рой алгебре Неймана; эта алгебра наз. обертывающей алгеброй Неймана С*-А. (см. [3], [4]).

Теория С*-А. имеет многочисленные применения в теории представлений групп и симметричных алгебр [3], теории динамич. систем [4], статистич. физике и квантовой теории поля [5], а также в теории операторов в гильбертовом пространстве [6].

Лит. : [1] Гельфанд И. М., Наймарк М. А., «Матем. сб. », 1943, т. 12, № 2, с. 197-213; [2] Наймарк М. А., Нормированные кольца, М., 1956; [3] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974-[4] Sakаi S., C*-algebras and W*-algebras, N. Y., 1971; [5] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с франц., М., 1971; [6] Dоuglas R. G., Banach Algebra Technigues in Operator Theory, N. Y., 1972.

А. И. Штерн.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru