![]() |
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВРасстановка ударений: АКСИОМАТИ`ЧЕСКАЯ ТЕО`РИЯ МНО`ЖЕСТВ АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - направление в математич. логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. теории. В более узком смысле термин «А. т. м. » может служить для обозначения к.-л. формальной аксиоматич. теории, направленной на построение нек-рого фрагмента содержательной («наивной») теории множеств. Теория множеств, возникшая на рубеже 19-20 вв., уже в самом начале своего развития натолкнулась на парадоксы. Открытие таких фундаментальных парадоксов, как Рассела и Кантора (см. Антиномия), вызвало широкую дискуссию и способствовало коренному пересмотру логико-математич. принципов. Аксиоматич. направление в теории множеств можно рассматривать как инструмент более детального изучения положения дел в создавшейся ситуации. Построение формальной А. т. м. начинается с точного описания языка, на к-ром формулируются утверждения. Затем принципы «наивной» теории множеств выражаются на описанном языке в виде аксиом, схем аксиом. Ниже дано краткое описание нек-рых наиболее распространенных систем А. т. м. Важную роль при этом играет язык, содержащий следующие исходные символы: 1) переменные х, у, z, u, v, х1, ..., к-рые в языке играют роль общих имен множеств; 2) предикатные символы ε (знак принадлежности) и = (знак равенства); 3) оператор дескрипции ι (означающий «такой объект, что...»); 4) логические связки и кванторы: ↔ (эквивалентно), → (влечет), ∨ (или), ∧ (и),⅂(не), ∀ (для всех), ∃ (существует); 5) скобки (,). Выражения языка делятся на термы и формулы. Термы являются именами множеств, а формулы выражают суждения. Термы и формулы образуются согласно следующим правилам. П1. Если τ и σ - переменные или термы, то (τ ε σ) и (τ = σ) суть формулы. П2. Если А и В - формулы и х - переменная, то (A ↔ B), (А → В), (A ∨ B), (А ∧ В),⅂А, ∀ хА, ∃ хА суть формулы и ι xA - терм; переменная х есть терм. Напр., формула ∀ х(xε y → xε z) выражает суждение «у есть подмножество z», ее естественно обозначить y ⊆ z; терм ι w∀ у(yε w ↔ y ⊆ z) является именем множества всех подмножеств z, в привычной математич. символике его обозначают через Pz. Пусть знак ⇆ означает «стоящее слева есть обозначение для стоящего справа». Приведем нек-рые дальнейшие обознаяения для формул и термов. Пустое множество: ![]() Множество таких х, что А (х): ![]() где z не входит свободно в А (х) (т. е. не является параметром формулы А (х)). Неупорядоченная пара х и у: ![]() Одноэлементное множество из х: ![]() Упорядоченная пара х и у: ![]() Объединение х и у: ![]() Пересечение x и у: ![]() Объединение всех элементов x: ![]() Декартово произведение x и у: ![]() w есть функция: ![]() Значение функции w на элементе x: ![]() z есть стандартное бесконечное множество: ![]() Следующая аксиоматич. теория А наиболее полно отражает принципы «наивной» теории множеств. Аксиомы А: А1. аксиома объемности: ![]() («если множества у и z содержат одни и те же элементы, то они равны»); А2. аксиомы свертывания: ![]() где А - произвольная формула, не содержащая в качестве параметра у («существует множество у, содержащее те и только те элементы х, для к-рых А»). Описанная система противоречива. Если в А2 в качестве А взять формулу ⅂хε х, то из формулы ∀ х(хε у ↔⅂хε х) легко выводится уε у ↔⅂yε y, что противоречиво. Аксиоматич. системы теории множеств можно разделить на следующие четыре группы. а) Построение аксиоматич. систем первой группы направлено на такое ограничение аксиом свертывания, к-рое обеспечивает наиболее естественный способ формализации обычных математич. доказательств и в то же время позволяет избежать известных парадоксов. Первой аксиоматикой такого рода была система Z Цермело (Е. Zermelo, 1908). Однако в системе Z невозможно естественным образом формализовать нек-рые разделы математики, и А. Френкель (A. Fraenkel, 1922) предложил пополнить Z новым принципом, названным им аксиомой подстановки. Полученная система наз. системой Цермело-Френкеля и обозначается ZF. б) Вторую группу составляют системы, аксиомы к-рых выбраны в связи с к.-л. объяснением парадоксов, напр. как следствий непредикативных определений. Сюда относятся: разветвленная теория типов Рассела, простая теория типов Т, теории типов с трансфинитными индексами (см. Типов теория). в) Третья группа характеризуется использованием нестандартных средств логич. вывода, многозначных логик, дополнительных условий на доказательства, бесконечных правил вывода. Системы, относящиеся к этому направлению, наименее развиты. г) Четвертая группа включает модификации систем первых трех групп, преследующие определенные логич. или математич. цели. Укажем только на системы NBG Неймана-Гёделя-Бернайса (J. Neumann-К. Godel-P. Bernays, 1925) и NF Куайна (W. Quine, 1937). Построение системы NBG вызвано желанием иметь конечное число аксиом для теории множеств, основанной на системе ZF. В NF реализуется стремление преодолеть расслоение понятий, имеющее место в теории типов. Системы Z, ZF, NF можно формулировать в описанном выше языке. Правила вывода, а также так наз. логические аксиомы у этих систем совпадают и образуют прикладное исчисление предикатов 1-й ступени с равенством и оператором дескрипции. Укажем только аксиомы для равенства и оператора дескрипции: х = х, х = у → (А (х) → А (у)), где А (х) - формула, не содержащая связанной переменной у (т. е. не имеющая вхождений вида ∀ у, ∃ у, ι y), и А (у) получается из формулы А (х) заменой нек-рых свободных вхождений переменной х на у; ∃ ! хА (х) → A (ι x А (х)), где квантор ∃ ! х ознаяает «существует одно и только одно х», а формула A (ι x A (х)) получается из формулы А (х) заменой всех свободных вхождений переменной х на терм ι xA (х). Квантор ∃ ! х выразим через кванторы ∀ и ∃ и равенство. Нелогические аксиомы системы Z: Z1. аксиома объемности А1; Z2. аксиома пары: ![]() («существует множество {х, у}»); Z3. аксиома суммы: ![]() («существует множество (∪ z»); Z4. аксиома степени: ![]() («существует множество Pz»); Z5. аксиома выделения: ![]() («существует подмножество z, состоящее из тех элементов х, для к-рых имеет место А (х)»); аксиомы Z2-Z5 являются примерами аксиом свертывания; Z6. аксиома бесконечности: ![]() Z7. аксиома выбора: ![]() («для всякого множества z существует функция w, выбирающая из каждого непустого элемента х множества z единственный элемент w‘ x»). К этим аксиомам добавляют еще аксиому фундирования: Z8. ![]() цель к-рой - постулировать, что не существует убывающих цепей х2 ε х1, х3 ε х2, х4 ε х3,... Аксиома Z8 позволяет упростить построения в Z. Добавление этой аксиомы не вносит противоречия.
В системе Z можно развивать арифметику, анализ, функциональный анализ, рассматривать кардинальные числа, меньшие Система ZF получается из Z добавлением аксиом подстановки Френкеля, к-рым можно придать вид аксиом свертывания: ZF9. ![]() («существует множество у, состоящее из х, x = ι tA (t, v), когда v пробегает все элементы множества z»). Иначе говоря, у получается из z, если каждый элемент v из z заменить на ι tA (t, v). Система ZF является очень сильной теорией. Все обычные математич. теоремы формализуются в ZF. Система NBG получается из системы ZF добавлением нового типа переменных - классовых переменных X, Y, Z,... и конечного числа аксиом образования классов, позволяющих доказать формулы вида ![]() где А (х) - формула системы NBG, не содержащая связанных классовых переменных и символа ι. Поскольку по каждой формуле А(х) можно образовать класс, то бесконечное число аксиом ZF удается заменить конечным числом аксиом, содержащих классовую переменную. Аксиома выбора имеет вид: ![]() и утверждает существование единой для всех множеств функции выбора, являющейся классом. Система NF имеет наиболее простую аксиоматику, а именно: 1) аксиому объемности и 2) те аксиомы свертывания, в к-рых формулу А можно стратифицировать, т. е. приписать всем переменным формулы А верхние индексы таким образом, чтобы получилась формула теории типов Т, т. е. в подформулах вида хε у индекс у x на единицу меньше, чем индекс у y. Система NF обладает следующими особенностями: а) выбора аксиома и обобщенная континуум-гипотеза опровержимы; б) бесконечности аксиома доказуема; в) аксиома объемности играет весьма существенную роль. Так, если аксиому объемности заменить несколько более слабой аксиомой: ![]() допускающей много пустых множеств, а аксиомы свертывания NF оставить без изменения, то получится довольно слабая теория, именно: уже в формальной арифметике можно доказать непротиворечивость полученной системы. Ниже приведены результаты о соотношениях между описанными системами. (α) Всякая формула ZF доказуема в NBG тогда и только тогда, когда она доказуема в ZF. (β) В ZF можно установить непротиворечивость Z, пополненной любым конечным числом примеров схемы аксиом подстановки ZF9. Таким образом, ZF значительно сильнее Z. (γ) В Z доказуема непротиворечивость Т, так что Z сильнее Т. (δ) NF не слабее Т в том смысле, что в NF можно развить всю теорию типов. Аксиоматич. подход к теории множеств позволил придать точный смысл утверждению о принципиальной неразрешимости нек-рых математич. проблем и строго доказать его. Общая схема применения аксиоматич. метода здесь такова. Рассматривается формальная аксиоматия. система S теории множеств (как правило, это ZF или нек-рые ее модификации), настолько универсальная, чтобы она содержала все обычные способы рассуждения классич. математики и все обычные математич. факты могли бы в ней быть выведены. Данная проблема А может быть записана в виде формулы в языке S. Затем математич. методами устанавливается, что в S невозможно вывести ни А, ни отрицание А. Отсюда следует, что проблема А не может быть разрешена (в ту или иную сторону) средствами теории S, но так как теория S определялась в расчете охватить все обычные методы рассуждения, то полученный результат свидетельствует о том, что А не может быть разрешена обычными методами рассуждения, т. е. свидетельствует о «трансцендентности» А. Результаты о невыводимости в теории S доказываются, как правило, в предположении о непротиворечивости S или нек-рого естественного расширения S. Это связано с тем, что, с одной стороны, проблема может быть невыводима в S только при непротиворечивости S, последнее же не может быть установлено средствами S (согласно Гёделя теореме о неполноте), т. е. не может быть доказано обычными методами. С другой стороны, непротиворечивость S является обычно весьма правдоподобной гипотезой. Сама теория S определяется в расчете на выполнение этой гипотезы.
Далее, аксиоматич. подход к теории множеств позволил точно поставить и решить проблемы, связанные с эффективностью в теории множеств, интенсивно обсуждавшиеся особенно в первый период развития теории множеств в работах Р. Бэра (R. Baire), Э. Бореля (Е. Borel), А. Лебега (Н. Lebesgue), С. Н. Бернштейна, Н. Н. Лузина, В. Серпинского (W. Sierpinski). А именно, говорят, что теоретико-множественный объект, удовлетворяющий свойству Наконец, методы А. т. м. позволили решить ряд трудных проблем и в классич. ветвях математики: теории кардинальных и ординальных чисел, дескриптивной теории множеств, топологии. Ниже приведены нек-рые из результатов в А. т. м. Большинство теорем относится к А. т. м. ZF Цермело-Френкеля, наиболее употребительной в настоящее время. Пусть ZF - есть система ZF без аксиомы выбора Z7. В силу (α) результаты легко адаптируются и к системе NBG. 1) К. Гёдель (1939) показал, ято если ZF - непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. Для доказательства этого результата Гёдель построил модель теории ZF, состоящую из так наз. конструктивных по Гёделю множеств и играющую важную роль в современной А. т. м. 2) Вопрос о том, можно ли вывести в ZF аксиому выбора или континуум-гипотезу, оставался открытым вплоть до 1963, когда П. Коэн (P. Cohen) с помощью разработанного им вынуждения метода показал, что если ZF - непротиворечива, то она остается таковой и после присоединения любой комбинации из аксиомы выбора, континуум-гипотезы или их отрицаний. Таким образом, эти две проблемы независимы в ZF. Основным методом установления невыводимости формулы А в ZF является построение модели ZF, в к-рой имеет место отрицание А. Метод вынуждения Коэна, усовершенствованный затем другими авторами, сильно расширил возможности построения моделей теории множеств и в настоящее время лежит в основе почти всех дальнейших результатов о невыводимости. Напр. : 3) Показано, что к ZF без противоречия можно присоединить гипотезу о том, что мощность множества подмножеств множества х может быть почти произвольной наперед заданной функцией мощности х на регулярных кардиналах (единственные существенные ограничения связаны с теоремой Кёнига). 4) В 1920 М. Я. Суслин сформулировал гипотезу: всякое линейно полно упорядоченное множество такое, что всякое попарно непересекающееся семейство непустых открытых интервалов в нем не более чем счетно, необходимо содержит счетное всюду плотное подмножество. Методом Коэна была установлена неразрешимость в ZF гипотезы Суслина. 5) Показана неразрешимость в ZF-(без аксиомы выбора) утверждения: всякое подмножество множества действительных чисел измеримо по Лебегу.
6) Выяснено взаимоотношение с ZF многих важных проблем дескриптивной теории множеств. Первые результаты в этом направлении были объявлены Гёделем в 30-х гг. и доказаны П. С. Новиковым [5]. Методы А. т. м. позволили обнаружить неизвестные ранее связи между проблемами «наивной» теории множеств. Доказано, напр., что из существования неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел типа 7) Доказано отсутствие в ZF эффективного вполне упорядочения континуума. Получены многочисленные результаты об отсутствии эффективно определенных объектов в дескриптивной теории множеств и теории ординалов. Лит. : [1] Френкель А. А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [2] Коэн Пол Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; [3] Йех Т., Теория множеств и метод форсинга, пер. с англ., М., 1973; [4] Drakе F. R., Set theory, Amsterdam. 1974; [5] Новиков П. С, «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1951, т. 38, с. 279-316. В. Н. Гришин, А. Г. Драгалин. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |