АДИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ

Расстановка ударений: АДИ`ЧЕСКАЯ ТОПОЛО`ГИЯ

АДИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ - линейная топология кольца А, в к-рой фундаментальная система окрестностей нуля образована степенями ⁿ нек-рого двустороннего идеала . В этом случае топология наз. -адической, а идеал - идеалом определения топологии. Замыкание любого множества F ⊂ A в -адической топологии равно ∩_{n ≥ 0} (F + ⁿ); в частности, топология отделима тогда, и только тогда, когда ∩_{n ≥ 0}ⁿ = (0). Отделимое пополнение Â кольца А в -адической топологии изоморфно проективному пределу .

Аналогично определяется -адическая топология A-модуля М: ее фундаментальная система окрестностей нуля задается подмодулями ⁿ М; в -адической топологии М становится топологическим A-модулем.

Пусть A - коммутативное кольцо с единицей в -адической топологии и Â - его пополнение; если - идеал конечного типа, то топология в Â является , а ⁿ = ⁿ Â. Если - максимальный идеал, то Â является локальным кольцом с максимальным идеалом . Топологией локального кольца считается А. т., определяемая максимальным идеалом (m-адическая топология).

Для изучения А. т. колец фундаментальной является лемма Артина-Риса: пусть A есть коммутативное нётерово кольцо, есть идеал в A, Е есть A-модуль конечного типа и F-подмодуль модуля Е. Тогда существует такое k, что для любого n ≥ 0 выполняется равенство

Топологич. интерпретация леммы Артина-Риса показывает, что -адическая топология на F индуцирована -адической топологией модуля Е. Отсюда следует, что пополнение Â кольца A в -адической топологии является плоским A-модулем (см. Плоский модуль), что пополнение Ê A-модуля Е конечного типа совпадает с Е⊕_A Â, а также теорема Крулля: -адическая топология нётерова кольца отделима тогда, и только тогда, когда множество 1 + не содержит делителей нуля. В частности, топология отделима, если содержится в радикале (Джекобсона) кольца.

Лит. : [1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.

В. И. Данилов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.