АДИАБАТИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ

Расстановка ударений: АДИАБАТИ`ЧЕСКИЙ ИНВАРИА`НТ

АДИАБАТИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ - термин физич. происхождения с математически не вполне точным содержанием. Обычно А. и. определяются как количественные характеристики движения гамильтоновой системы, почти не изменяющиеся при адиабатическом (т. е. очень медленным по сравнению с характерным масштабом времени для движения в системе) изменении ее параметров (к-рое может продолжаться столь долго, что значения самих этих параметров, в отличие от А. и., значительно изменяются). Так, для простейшей системы

(*)

где ε - малый параметр, а ω (s) - положительная достаточно гладкая функция, А. и. служит

При ω = const система (*) описывает обычный гармонич. осциллятор с частотой ω ; таким образом, в данном случае при медленном (по сравнению с периодом колебания) изменении параметров системы ее энергия (v² + ω² x²)/2 меняется пропорционально частоте. Как и в этом примере, обычно подразумевается, ято если бы параметры вообще не изменялись, то рассматриваемая гамильтонова система была бы вполне интегрируемой и ее движения были бы квазипериодическими (в данном примере - просто периодическими); известны и другие обобщения. Во многих работах математиков или специалистов по небесной механике, посвященных гамильтоновым системам, близким к вполне интегрируемым, термин «А. и. » не используется, хотя полученная там информация позволяет утверждать, что те или иные величины в том или ином случае являются А. и.

«Приближенное сохранение» А. и. I(t) означает, что при всех рассматриваемых t разность I(t) - I(0) остается малой. (При этом производная dI(t)/dt вполне может быть величиной того же порядка, что и производные других параметров системы, лишь бы с течением времени изменения А. и. не накапливались.) Такое приближенное сохранение может иметь место либо на очень большом, но конечном промежутке времени (временные А. и.), либо на всей бесконечной оси ((стационарные, или вечные, А. и. ; см. [1]). Слова «медленное изменение параметров системы» можно уточнять двумя способами: а) функция Гамильтона Н явно зависит от времени t (система неавтономна), но производная dH/dt мала; б) рассматриваемая система с канонич. переменными р, q представляет собой подсистему в большей системе с переменными р, q, р', q', к-рая уже автономна и такова, что р', q' либо изменяются медленно, либо их изменение слабо влияет на подсистему.

При всех этих подстановках существование А. и. можно утверждать лишь при различных дополнительных предположениях, к-рым трудно дать отчетливую общую формулировку (см., напр., [1]). Временные А. и. для систем описанного выше типа фактически относятся к асимптотич. методам теории возмущений (при более общей постановке также имеются нек-рые строгие результаты, см. [4]). При доказательстве временной асимптотич. инвариантности к.-л. величины I(t) обычно строится другая величина J(t) с теми свойствами, что значения I(t) осциллируют возле J(t), a dJ(t)/dt имеет более высокий порядок малости, чем производные других параметров системы. Так, в примере (*) для J = I + ε ω 'xv/ω² (штрих обозначает производную от ω по аргументу s = ε t) непосредственное дифференцирование дает это гарантирует, что I-временной А. и. Существование вечных А. и. в случае а) при сколько-нибудь общем характере зависимости Н от t (исключающем, в частности, периодичность или существование пределов при t → ±∞) сомнительно. Для случая б) вопрос о вечных А. и. связан с малыми знаменателями (см. [2]).

Исторически А. и. играли важную роль в квантовой теории Бора-Зоммерфельда, где имелся рецепт: величины, подлежащие квантованию, - А. и. С созданием последовательной квантовой механики этот рецепт потерял значение. В современной физике А. и. используются при исследовании движения заряженных частиц в электромагнитных полях (см. [3]). Здесь чаще всего фигурирует отношение v_⊥² /H, где H - величина напряженности магнитного поля, v_⊥ - компонента скорости частицы, лежащая в плоскости, перпендикулярной к вектору Н; это отношение является А. и. при условии, что магнитное поле мало изменяется по длине ларморовского радиуса.

Кроме того, в квантовой механике при адиабатическом изменении состояния нек-рые величины сохраняют свои значения (напр., квантовые числа), исключая процессы, приводящие к вырожденным состояниям системы. Поэтому в квантовой механике тоже можно говорить об А. и., однако они не играют в ней особой роли и даже сам этот термин там обычно не вводится.

Лит. : [1] Мандельштам Л. И., Андронов А. А., Леонтович М. А., «Журнал Русского физико-химического о-ва», 1928, т. 60, №5, с. 413-19; [2] Арнольд В. И., «Успехи матем. наук», 1963, т. 18, № 6, с. 91-192; [3] Нортроп Т., Адиабатическая теория движения заряженных частиц, пер. с англ., М., 1967; [4] Кasugа Т., «Рrос. Japan. Acad. », 1961, v. 37, № 7, p. 366-82.

Д. В. Аносов, А. П. Фаворский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.