АДДИТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Расстановка ударений: АДДИТИ`ВНЫЕ ПРОБЛЕ`МЫ

АДДИТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ - проблемы теории чисел о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида. Решение классич. А. п. привело к созданию новых методов в теории чисел. К классич. А. п. относятся:

1) Гольдбаха проблема о представлении нечетных натуральных чисел, больших 5, суммой трех простых и проблема Эйлера-Гольдбаха о представлении четных чисел, больших 2, суммой двух простых (поставлены в 1742).

2) Варинга проблема (1770) о представлении всякого натурального числа в виде суммы s = s(k) неотрицательных k-х степеней с фиксированным k ≤ 1.

Другими А. п. являются, напр., следующие.

3) Проблема представления натуральных чисел суммой ограниченного числа простых (ослабленная проблема Гольдбаха).

4) Харди-Литлвуда проблема о представлении всякого целого числа, большего 1, в виде суммы простого и двух квадратов (сформулирована в 20-х гг. 20 в.).

5) Задачи о представлении всех достаточно больших четных чисел суммами двух чисел с ограниченным числом простых сомножителей.

6) Задачи о представлении целых чисел квадратичными формами с тремя и четырьмя переменными и аналогичные задачи.

Для решения А. п. применяются аналитические, алгебраические, элементарные и смешанные методы (см. Аддитивная теория чисел). Значительная часть А. п. может быть сведена к двум классам:

а) Тернарные аддитивные проблемы типа n = α + β + γ, где α и β принадлежат к достаточно густым и хорошо распределенным в арифметич. прогрессиях последовательностям целых чисел, γ принадлежит последовательности, может быть и редкой, но с хорошим поведением нек-рых, соответствующих ей, тригонометрич. сумм.

б) Бинарные аддитивные проблемы типа n = α + β с теми же условиями для α и β, что и в а).

Универсальным средством решения тернарных А. п. для достаточно больших n является общий аналитич. метод Харди-Литлвуда-Виноградова в форме метода тригонометрических сумм (см. Виноградова метод). Бинарные А. п. обычно не могут быть решены этими методами. Для решения таких А. п. применяются различные варианты элементарного решета (см. Решета метод). Особенно сильные результаты получаются при помощи большого решета и дисперсионного метода Ю. В. Линника. А. п. типа 6) также являются бинарными. Они исследуются своеобразными арифметико-геометрич. методами теории квадратичных форм.

Лит. : [1] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [3] его же, Эргодические свойства алгебраических полей, Л., 1967; [4] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964.

Б. М. Бредихин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.