АДДИТИВНАЯ КАТЕГОРИЯ

Расстановка ударений: АДДИТИ`ВНАЯ КАТЕГО`РИЯ

АДДИТИВНАЯ КАТЕГОРИЯ - категория С, в к-рой для любых двух объектов X и Y на множестве морфизмов Hom_C (X, Y) определена структура абелевой группы таким образом, что композиция морфизмов

Hom_C (X, Y) × Hom_C (Y, Z) → Hom_C (X, Z)

является билинейным отображением. Кроме того, требуется, чтобы в С существовал нулевой объект (или нуль), а также произведение X × Y любых двух объектов X и Y.

В А. к. существует прямая сумма X⊕ Y любых двух объектов, к-рая изоморфна их произведению X × Y. Двойственная категория к А. к. также является А. к.

Функтор F : С → С' из А. к. С в А. к. С' наз. аддитивным, если для любых объектов X и Y категории С отображение F : Hom_C (X, Y) → Hom_C {F(X), F(Y)} является гомоморфизмом соответствующих абелевых групп. А. к. наз. предабелевой, если для любого морфизма существует ядро и коядро.

Если для морфизма u : X → Y в А. к. существует образ Im(u) и кообраз Coim(u), то определен единственный морфизм u : Coim(u) → Im(u) такой, что морфизм и разлагается в композицию

Каждая абелева категория по определению аддитивна. Примерами аддитивных неабелевых категорий могут служить категория топологич. модулей над заданным топологич. кольцом относительно морфизмов, являющихся непрерывными линейными отображениями, а также категория абелевых групп Г с фильтрацией Г = Г₀ ⊃ Г₁ ⊃... ⊃ Г_n - {0} относительно морфизмов, являющихся гомоморфизмами групп, сохраняющими фильтрацию.

Лит. : [1] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [3] Grusоn L., «Bull. sci. math. », 1966, V. 90, № 1, p. 17-40.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.