АДАМАРА МАТРИЦА

Расстановка ударений: АДАМА`РА МА`ТРИЦА

АДАМАРА МАТРИЦА - квадратная матрица H = ||h_ij || порядка n, элементы h_ij к-рой суть + 1 или - 1, и такая, что имеет место равенство

НН^T = nI_n, (*)

где Н^T - транспонированная матрица Н, а I_n - единичная матрица порядка n. Равенство (*) эквивалентно утверждению, что любые две строки Н ортогональны. А. м. названы по имени Ж. Адамара, доказавшего [1], что определитель |A| матрицы А = ||а_ij || порядка n, элементы а_ij к-рой суть комплексные числа, удовлетворяет неравенству Адамара:

где

a_kj - элемент, сопряженный a_kj (см. А дамара теорема об определителях). В частности, если |а_ij | ≤ M, то A ≤ Mⁿ n^n/2 . Отсюда следует, что А. м. есть квадратная матрица из ±1 порядка n с максимальным абсолютным значением определителя, равным n^n/2 . Свойства А. м. : 1) из НН^T = nI_n следует Н^T Н = nI_n, и наоборот; 2) перестановка строк или столбцов и умножение элементов к.-л. строки или столбца А. м. на - 1 сохраняют свойство матрицы быть А. м. ; 3) прямое произведение двух А. м. есть снова А. м., порядок к-рой равен произведению порядков сомножителей. Иными словами, если А = ||a_ij || и B = ||b_ij || суть А. м. порядков m и n соответственно, то C = ||a_ij B|| есть А. м. порядка mn. А. м., у к-рой первая строка и первый столбец состоят из + 1, наз. нормализованной. Порядок А. м. n = 1, 2 или n ≡ 0 (mod 4). Нормализованные А. м. порядков 1 и 2 суть:

Существование А. м. доказано для нескольких классов значений n (см., напр., [2], [3]). Предположение о существовании А. м. для любого n ≡ 0 (mod 4) остается (70-е гг. 20 в.) недоказанным. Методы построения А. м. рассмотрены в [2]. А. м. используются при построении нек-рых типов блок-схем [2] и кодов [3]. Так, А. м. порядка n = 4t эквивалентна адамаровой (v = 4t - 1, b = 2t - 1, λ = t - 1)-конфигурации.

Обобщенной А. м. наз. квадратная матрица Н(р, h) порядка h, элементами к-рой являются корни р-й степени из единицы и к-рая удовлетворяет равенству

HH^c_T = hI_h,

где H^c_T - транспонированная матрица Н с сопряженными элементами, a I_h - единичная матрица порядка h. Для обобщенных А. м. справедливы свойства, аналогичные 1) и 3) (см. [4]).

Лит. : [1] Hadamard J., «Bull. sci. math. », 1893, ser. 2, t. 17, pt. 1, p. 240-246; [2] Холл M., Комбинаторика, пер. с англ., М., 1970; [3] Питерсон У., Коды, исправляющие ошибки, пер. с англ., М., 1964; [4] Вutsоn А. Т., «Рrос. Amer. Math. Soc. », 1962, v. 13, № 6, p. 894-898.

С. А. Рукова.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.