![]() |
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИЯРасстановка ударений: АВТОМАТИ`ЧЕСКОГО УПРАВЛЕ`НИЯ ТЕО`РИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ - наука о методах определения законов управления к.-л. объектами, допускающих реализацию с помощью технич. средств автоматики. Исторически сложилось так, что методы А. у. т. получили свое первое развитие применительно к процессам, встречающимся главным образом в технике (см. [1]). Напр., летящий самолет представляет собой объект, законы управления к-рым гарантируют его полет по требуемой траектории. Они реализуются с помощью совокупности измерительных приборов, преобразующих и исполнительных устройств, называемой автопилотом. Три причины лежат в основе этого развития: многие объекты управления были идентифицированы классиками науки (идентифицировать объект управления - значит написать его математик, модель, т. е. соотношения (1), (2), см. ниже); еще задолго до развития А. у. т., благодаря установлению ряда фундаментальных законов природы, существовал хорошо развитый математич. аппарат дифференциальных уравнений и особенно аппарат теории устойчивости движения (см. [2]); инженеры открыли закон обратной связи (см. ниже) и нашли средства его реализации. Простейшие объекты управления описываются (векторным) обыкновенным дифференциальным уравнением ![]() (1) и неравенством N(x, u, t) ≥ 0, (2) где х{х1, ..., хn} - вектор состояния объекта, u{u1, ..., ur} - вектор управления, к-рый можно выбирать, t - время. Уравнение (1) есть математич. запись законов, к-рым подчинен объект управления; неравенство (2) - область его определения. Пусть U есть к.-л. данный класс функций u(t) (напр., кусочно непрерывных), принимающих численное значение из (2). Любую функцию u(t) ∈ U назовем допустимым управлением. Уравнение (1) наз. математической моделью объекта управления, если: 1) указана область N(x, u, t) ≥ 0 определения функции f(x, u, t);
2) указан интервал времени 3) указан класс допустимых управлений;
4) область N ≥ 0 и функция f(x, u, t) таковы, что уравнение (1) имеет единственное решение, определенное при любом t ∈ Пусть xi = x(ti) - начальное, a xf = x(tf) - конечное состояния объекта управления. Состояние xf наз. целью управления. Существуют две главные задачи А. у. т. : задача программирования - определение управления u(t), при к-ром гарантируется достижение цели из xi ; определение закона обратной связи (см. ниже). Обе задачи разрешаются при условии полной управляемости объекта (1).
Объект (1) наз. полностью управляемым, если, каковы бы ни были xi, xf ∈ N, найдутся хотя бы одно допустимое управление u(t) и интервал ![]() (3) где А, В - стационарные матрицы, критерий полной управляемости формулируется так: для того чтобы система (3) была полностью управляема, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы Q = ||B, AB, A2 B, ..., An - 1 B|| (4) был равен n. Матрица (4) наз. матрицей управляемости. Если А, В - известные дифференцируемые функции от t, то матрица управляемости определяется так: Q = ||L1 (t), L2 (t), ..., Ln (t)||, (5)
где
В этом случае имеет место теорема: для того чтобы система (3) была полностью управляема, достаточно, чтобы существовала хотя бы одна точка t* ∈ Первая главная задача А. у. т. заключается в выборе допустимого управления, при к-ром гарантируется достижение цели хf . Она имеет два способа решения. Первый из них состоит в проявлении воли главного конструктора (ГК) объекта (1) - назначение определенного вида движения, при к-ром цель хf достижима, и в подборе соответствующего управления. Такой способ решения задачи программирования применяется в практике во многих случаях. При другом способе ищется допустимое управление, минимизирующее заданную плату управления. Математич. формулировка задачи такова. Даны: математич. модель объекта управления (1), (2); граничные условия на вектор х, к-рые символически запишем в виде (i, f) = 0; (6) гладкая функция G(x, t) и плата за принятое управление ![]() (7) Задача программирования: среди допустимых управлений требуется найти такое, при к-ром условия (6) выполняются, а функционал (7) принимает минимальное значение. Необходимые условия минимума этой неклассической вариационной задачи доставляются следующей теоремой, носящей название «принцип максимума Л. С. Понтрягина» (см. [4]). Введем в рассмотрение вспомогательный вектор ψ {ψ1, ..., ψn} и вспомогательную скалярную функцию H(ψ, х, u, t) = ψ ⋅ f(х, u, t). (8) Функция H позволяет записать уравнение (1) и уравнение для вектора ψ в следующей форме: ![]() (9)
Уравнение (9) является линейным и однородным относительно ψ, имеет единственное непрерывное решение, определенное при любых начальных условиях ψ (ti) и t ∈ ![]() Пусть х0 (t, xi, xf), u0 (t, xi, xf) - решение, отвечающее задаче. Доказано, что в стационарной системе функция H(ψ0, х0, u0) удовлетворяет условию H(ψ0, х0, u0) = C (10) где С - постоянная, то есть (10) - ее первый интеграл. Решение u0, x0 наз. программой управления. Пусть u0, x0 есть к.-л. (необязательно оптимальная) программа управления. Оказывается, что знание лишь одной программы управления недостаточно для достижения цели. Дело в том, что программа u0, x0, как правило, неустойчива относительно любых сколь угодно малых изменений в задаче, в частности наиболее важных изменений начальных значений (i, f), или, иными словами, эта задача некорректна. Особенность некорректности, однако, заключается в том, что она может быть исправлена средствами автоматич. стабилизации, основанными только лишь на использовании «принципа обратной связи». В связи с этим возникает другая главная задача управления - задача определения закона обратной связи. Пусть y - вектор возмущенного движения системы, а ξ - вектор, характеризующий дополнительное отклонение органа управления, предназначенное для гашения возмущенного движения. Для реализации отклонения ξ должен быть заранее предусмотрен соответствующий ресурс управления. Возмущенное движение будет описываться уравнением ![]() (11)
Здесь: А, В - известные матрицы, определенные на движении х0, u0, и суть известные функции времени; φ - нелинейные члены разложения функции f(x, u, t); f0 (t) - постоянно действующая возмущающая сила, происходящая либо от того, что программное движение не определено точно, либо от того, что при построении модели (1) не были учтены к.-л. дополнительные силы. Уравнение (11) определено в окрестности ||y|| ≤ Заметим, что полная управляемость системы (1), вообще говоря, не гарантирует полной управляемости системы (11).
Будем говорить, что объект управления (11) наблюдаем по координатам y1, ..., yr r ≤ n, если существует набор готовых к действию измерительных приборов, способных непрерывно производить измерения координат в любой момент времени t ∈ Рассмотрим совокупность допустимых управлений ξ, определенных над полем Р: ξ = ξ (y1, ..., yr, t, p), r ≤ n, (12) где р-векторный или матричный параметр. Будем говорить, что управление (12) представляет собой закон обратной связи, если операция замыкания [т. е. подстановка (12) в уравнение (11)] дает систему ![]() = Аy + Вξ (y1, ..., yr, t, p) + φ (y, ξ (y1, ..., yr, t, p), t), (13) невозмущенное движение к-рой у = 0 асимптотически устойчиво (см. Асимптотически устойчивое решение). Система (13) наз. асимптотически устойчивой, если ее невозмущенное движение y = 0 асимптотически устойчиво. Существует два класса задач, к-рые могут быть сформулированы относительно замкнутой системы (13): класс задач анализа и класс задач синтеза. Рассмотрим допустимое управление (12), заданное с точностью до выбора параметра р, напр. ![]() Задача анализа: требуется определить область S значений параметра р, для к-рых замкнутая система (13) асимптотически устойчива. Построение области S осуществляется на основании методов, разработанных в теории устойчивости движения (см. Устойчивости теория) и нашедших широкое применение в А. у. т. В частности, отметим методы частотного анализа; методы, основанные: на Ляпунова теории устойчивости по первому приближению (теоремы Гурвица, Рауса и др.), на прямом методе Ляпунова построения v-функций, на теории Ляпунова-Пуанкаре построения периодич. решений, на методе гармонич. баланса, методе Б. В. Булгакова, методе А. А. Андронова, теории точечного преобразования поверхностей (см. [5]). Последняя группа методов дает возможность не только строить в пространстве Р области S, но также проанализировать параметры устойчивых периодич. решений уравнения (13), характеризующих автоколебательные движения системы (13). Все эти методы получили широкое применение в практике автоматич. управления, и их изучают в рамках различных специальностей в высшей школе (см. [5]). Если S не пусто, то управление (12) наз. законом обратной связи, или законом регулирования. Его реализация, осуществленная с помощью совокупности измерительных приборов, усилителей, преобразователей и исполнительных устройств, наз. регулятором. С задачей анализа тесно связана другая весьма важная для практики задача о построении границ области притяжения (см. [6], [7]). Рассмотрим систему (13), в к-рой p ∈ S. Множество значений y(ti) = y0, содержащее точку у = 0, для к-рых замкнутая система (13) сохраняет свойство асимптотич. устойчивости, наз. областью притяжения тривиального решения у = 0. Задача состоит в том, чтобы для данной замкнутой системы (13) и точки p ∈ S определить границы области притяжения. Современная научная литература не содержит эффективных методов построения границ области притяжения, за исключением редких случаев, в к-рых удается построить неустойчивые периодич. решения замкнутых систем. Однако имеются нек-рые методы, позволяющие построить границы множества значений у0, целиком содержащегося в области притяжения. В большинстве случаев эти методы основаны на оценке области фазового пространства, в к-ром Ляпунова функция удовлетворяет условию v ≥ 0, v ≤ 0 (см. [7]). Любое решение у (t, y0, р) замкнутой системы (13) представляет так наз. переходный процесс. В большинстве случаев практич. значения нельзя ограничиться решением лишь проблемы устойчивости. При разработке проекта предъявляются дополнительные, имеющие важное практич. значение, требования, при к-рых гарантируется наличие у переходного процесса нек-рых новых свойств. Характер требований и перечень свойств существенно связаны с физич. природой объекта управления. В задачах анализа обеспечение этих свойств переходного процесса, напр. заданного времени регулирования t*, в ряде случаев может быть достигнуто за счет выбора параметра р. Задача выбора параметра р носит назв. проблемы качества регулирования (см. [5]), и методы решения этой проблемы связаны с тем или иным построением оценок решений y(t, y0, р): либо фактич. интегрированием уравнения (13), либо нахождением оценки этих решений экспериментально, с помощью аналоговой или цифровой вычислительной машины. Задачи анализа переходных процессов имеют много иных формулировок во всех случаях, в к-рых f0 (t) представляет собой случайную функцию, как, напр., в следящих системах (см. [5], [8]). Другие формулировки связаны с возможностью случайного изменения матриц А, В или даже функции φ (см. [5], [8]). В связи с этим развивались методы исследования случайных процессов, методы адаптации и обучения машин (см. [9]). Исследовались также переходные процессы в системах с запаздыванием и системах с распределенными параметрами (см. [10], [И]), в системах с переменной структурой (см. [12]). Задача синтеза: дано уравнение (11), поле регулирования Р (y1, ..., yr), r ≤ n, и множество ξ (y1, ..., yr, t) допустимых управлений; требуется найти все множество М законов обратной связи (см. [13]). Одной из наиболее важных разновидностей этой задачи является задача о структуре минимальных полей. Поле Р (y1, ..., yr), r ≤ n, наз. минимальным полем, если на нем существует хотя бы один закон обратной связи и если размерность поля r минимальна. Задача состоит в том, чтобы для данного уравнения (11) и множества допустимых управлений определить структуру Р (yα1, ..., yαr) всех его минимальных полей. Поясним характер задачи на примере: ![]() m, n, k - заданные числа. Допустимые управления - множество кусочно непрерывных функций u2, u4, принимающих свои значения из области ![]() Минимальными полями в задаче являются либо поле P(z2), либо поле Р (z4). Размерность каждого поля равна единице и понизить ее нельзя (см. [13]). Пока известен (1977) лишь один метод синтеза законов обратной связи, основанный на использовании функций Ляпунова (см. [13]). При этом существенную роль играет теорема Барбашина-Красовского (см. [6], [10], [15]): для того чтобы невозмущенное движение у = 0 замкнутой системы ![]() (14) было асимптотически устойчиво, достаточно существования знакоопределенной положительной функции v(y), полная производная к-рой, в силу уравнения (14), есть функция w(y), знакопостоянная отрицательная, однако такая, что на многообразии w(y) = 0 не лежат целые траектории системы (14), кроме у = 0. Задача выяснения существования и структуры минимальных полей имеет важное практич. значение, поскольку эти поля отвечают требованиям ГК о минимуме веса, габаритов, сложности, стоимости системы управления и ее максимальной надежности. Особый научный и практич. интерес эта задача приобретает для бесконечномерных систем, встречающихся в технике, биологии, медицине, экономике и социологии. К сожалению, при проектировании систем управления невозможно ограничиться решением задачи синтеза законов обратной связи. В большинстве случаев требования ГК касаются обеспечения нек-рых важных специфич. свойств переходного процесса в замкнутой системе. Важность этих требований видна на примере регулирования атомного реактора. В случае, если переходный процесс затягивается долее 5 сек или максимальное уклонение к.-л. его координаты превосходит заданное значение, происходит атомный взрыв. В связи с этим возникают новые задачи синтеза законов регулирования, определенных на множестве М. Приведем формулировку одной из таких задач. Рассмотрим две сферы: ||y0 || = R, у0 = уi, ||y(ti)|| = ε, R ≥ ε - заданные числа. Обратимся к множеству М всех законов обратной связи. Возьмем любой из них и произведем замыкание, получим уравнение: ![]() = Ау + Вξ (y1, ..., yr, t) + φ (у, ξ (y1, ..., yr, t), t). (15) Рассмотрим все множество решений y(t, у0) уравнения (15), начинающихся на сфере R. Будем называть их R-решениями. Поскольку система (15) асимптотически устойчива для любого у0 на сфере, существует момент времени t1 при к-ром соблюдаются условия ||t1, y0 || = ε, ||y(t1, y0)|| < ε при любом t > t1 . Пусть ![]() Из определения t1 ясно, что t* существует. Интервал t* - ti наз. временем регулирования (затухания переходного процесса) в замкнутой системе (15), если любое R-решение выходит на сферу ε при t1 ≤ t* и остается внутри ее при t < t1 . Очевидно, что время регулирования есть функционал вида t* = t* (R, ε, ξ). Пусть Т - заданное число. Возникает задача синтеза быстродействующих регуляторов: дано множество М законов обратной связи, требуется выделить такое его подмножество M1, на к-ром время регулирования в замкнутой системе удовлетворяет условию t* - ti ≤ T. Аналогично могут быть сформулированы задачи синтеза множеств М2, ..., Mk законов обратной связи, при к-рых соблюдаются другие k - 1 требований ГК, Главная задача синтеза об удовлетворении всех требований ГК разрешима, если множества M1, ..., Mk имеют непустое пересечение (см. [13]). Наиболее детально задача синтеза изучена для случая, в к-ром поле Р имеет максимальную размерность r = n, а показатель качества системы характеризуется функционалом ![]() (16) где w(y, ξ, t) - знакоопределенная положительная функция по у, ξ. В этом случае задача наз. задачей аналитического конструирования оптимальных регуляторов (см. [14]) и формулируется так. Даны уравнение (11), класс допустимых управлений ξ (y, t), определенных над полем Р (у) максимальной размерности, и функционал (16). Требуется найти управление ξ = ξ (y, t), при к-ром функционал (16) достигает минимального значения. Эта задача разрешается теоремой: если уравнение (11) таково, что можно найти знакоопределенную положительную допускающую бесконечно малый высший предел функцию v0 (y, t) и функцию ξ0 (y, t) такие, что выполняется равенство ![]() (17) и справедливо неравенство ![]() при любых допустимых ξ, то функция ξ0 (у, t) разрешает задачу. При этом имеет место равенство ![]() Функция v0 (y, t) наз. оптимальной функцией Ляпунова (см. [15]). Она служит решением уравнения (17) с частными производными типа Гамильтона-Якоби, удовлетворяющего условию v(y(∞), ∞) = 0. Методы эффективного решения такой задачи разработаны для случая, в к-ром функции w, φ допускают разложение в целые сходящиеся ряды по у, ξ с коэффициентами, являющимися непрерывными и ограниченными функциями от t. При этом принципиальное значение имеет разрешимость задачи по линейному приближению в уравнении (11) и оптимизации лишь интеграла от квадратичных членов, удерживаемых в разложении w. Разрешимость же последней задачи гарантируется соблюдением условия полной управляемости (см. [15]). Лит. : [1] Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А., Стодола А., Теория автоматического регулирования, М., 1949; [2] Четаев Н. Г., Устойчивость движения, 3 изд., М., 1965; [3] Красовский Н. Н., Теория управления движением, М., 1968; [4] Понтрягин Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [5] Техническая кибернетика, кн. 1-2, М., 1967; [6] Барбашин Е. А., Введение в теорию устойчивости, М., 1967; [7] 3убов В. И., Математические методы исследования систем автоматического регулирования, Л., 1959; [8] Пугачев B. C., Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления, 3 изд., М., 1962; [9] Цыпкин Я. 3., Основы теории обучающихся систем, М., 1970; [10] Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, М., 1959; [11] Бесекерский В. А., Попов Е. П., Теория систем автоматического регулирования, М., 1966; [12] Теория систем с переменной структурой, под ред. С. В. Емельянова, М., 1970; [13] Летов А. М., «Дифференц. уравнения», 1970, т. 6, № 4, с. 592-615; [14] его же, Динамика полета и управление, М., 1969; [15] Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, 2 изд., М., 1966, (дополнение 4). А. М. Летов. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |