АБСТРАКЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Расстановка ударений: АБСТРА`КЦИЯ МАТЕМАТИ`ЧЕСКАЯ

АБСТРАКЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ - абстракция в математике, мысленное отвлечение, представляющее собой существенную составную часть мыслительной деятельности, направленной на формирование основных математич. понятий. Наиболее характерными для математики типами абстрагирования являются «чистое» отвлечение, идеализация и их разнообразные многоступенчатые наслоения (см. [5], с. 284).

Мысленный акт «чистого» отвлечения состоит в том, что в нек-рой рассматриваемой нами ситуации наше внимание фиксируется лишь на определенных (существенных для нас) свойствах исходных объектов рассмотрения и отношениях между этими объектами, в то время как другие свойства и отношения, рассматриваемые нами как несущественные, нашим сознанием в расчет не принимаются. Результат такого акта абстрагирования, закрепленный с помощью надлежащих языковых средств, начинает играть роль общего понятия. Типичный пример такой А. м. - абстракция отождествления.

Мысленный акт идеализации состоит в том, что в нек-рой рассматриваемой нами ситуации наше воображение порождает нек-рое понятие, становящееся для нашего сознания предметом рассмотрения, причем это понятие наделяется нашим воображением не только такими свойствами, к-рые были выделены у исходных объектов в результате актов «чистого» отвлечения, но и другими - воображаемыми - свойствами, отражающими свойства исходных объектов в измененном виде или даже вообще отсутствующими у этих последних. Одной из наиболее традиционных для математики идеализации является абстракция актуальной бесконечности, ведущая к идее актуальной бесконечности. Эта абстракция лежит в основе теоретико-множественного построения математики. Другая традиционная идеализация - абстракция потенциальной осуществимости - приводит к идее потенциальной бесконечности. Эта абстракция, в сочетании с отказом от применения абстракции актуальной бесконечности, лежит в основе конструктивного построения математики.

Характер той или иной математич. теории в значительной мере определяется характером А. м., применяемых в этой теории при формировании ее основных понятий. Анализ этих А. м. является одной из центральных задач оснований математики. Тщательное рассмотрение относящейся к этому кругу вопросов проблематики привело к осознанию следующих играющих фундаментальную роль обстоятельств: 1) суждения об абстрактных объектах, возникающих в результате наслоения далеко идущих идеализации, требуют разработки особых способов их понимания; разработка этих способов представляет собой трудную проблему, являющуюся предметом специальной научной дисциплины - семантики; 2) логич. аппарат, применение к-рого оказывается допустимым в рамках той или иной математич. теории, существенным образом зависит от характера исходных понятий этой теории, а следовательно, и от характера А. м., применяемых при формировании этих понятий (см. Интуиционизм, Конструктивная математика).

Значительный вклад в анализ абстракций, применяемых в математике, внесли Л. Э. Я. Брауэр [1], Г. Вейль [2], Д. Гильберт [3], А. А. Марков [4] и др.

Лит. : [1] Brouwer L. Е. J., «Tijdschrift voor wijsbegeerte», 1908, t. 2, p. 152; [2] Weу 1 H., Das Kontinuum, Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis, Lpz., 1918; [3] Гильберт Д., О бесконечном, в кн. : Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. - Л., 1948, добавление VIII; [4] Марков А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972; [5] Шанин Н. А., «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1962, т. 67, с. 15-294.

Н. М. Нагорный.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.