![]() |
АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕРасстановка ударений: АБСОЛЮ`ТНОЕ ЗНАЧЕ`НИЕ АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ на теле - отображение φ тела K в множество ℝ действительных чисел, удовлетворяющее условиям: 1) φ (х) ≥ 0 и φ (х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0; 2) φ (x ⋅ y) = φ (х) ⋅ φ (у); 3) φ (x + y) ≤ φ (x) + φ (у). Отсюда φ (1) = φ (- 1) = 1, φ (х- 1) = φ- 1 (x). А. з. часто обозначается |х| вместо φ (х). А. з. наз. также нормой, мультипликативным нормированием. А. з. могут рассматриваться на любом кольце со значениями в линейно-упорядоченном кольце [4] (см. также Нормирование).
Примеры А. з. Если K = ℝ - поле действительных чисел, то |x| = mах {х, - х} является абсолютной величиной, или модулем, числа х ∈ ℝ. Аналогично, если К-поле ℂ комплексных чисел или тело |Н| кватернионов, то ![]() конечные поля и их алгебраич. расширения имеют только такие А. з. Примеры А. з. другого типа доставляют логарифмич. нормирования тела К: если v-нормирование K со значениями в группе ℝ и а - действительное число, 0 < а < 1, то φ (х) = аv(x) является А. з. Например, если K = ℚ, a vp есть р-адическое нормирование поля О, то |x|p = (1/p)vp (x) называется р-адическим А. з., или р-адической нормой. Эти А. з. удовлетворяют более сильному, чем 3), условию 4) φ (x + y) ≤ max{φ (х), φ (y)}. А. з., удовлетворяющие условию 4), наз. ультраметрическими А. з., или неархимедовыми А. з. (в отличие от архимедовых А. з., не удовлетворяющих этому условию). Они характеризуются тем, что φ (n ⋅ 1) ≤ 1 для всех целых n. Все А. з. тела характеристики р > 0 являются ультраметрич. А. з. Все ультраметрич. А. з. получаются из нормирований указанным выше способом: φ = аv(x) (и обратно, за нормирование всегда можно взять - logφ). А. з. φ определяет метрику на K, если за расстояние между х и у принять φ (х - у), и тем самым определяет топологию на К. Так, топология любого локально компактного тела определяется нек-рым абсолютным значением. А. з. φ1 и φ2 наз. эквивалентными, если они определяют одну топологию; в этом случае существует такое λ > 0, что φ1 (х) = φ1 (х)λ для всех х ∈ К. Структура всех архимедовых А. з. дается теоремой Островского: если φ - архимедово А. з. на теле К, то существует такой изоморфизм К на нек-рое всюду плотное подтело тела ℝ, ℂ или |Н|, что φ эквивалентно А. з., индуцированному с ℝ, ℂ или |Н|. Любое нетривиальное А. з. поля ℚ рациональных чисел эквивалентно либо р-адическому А. з. | |р (где р-простое число), либо обычной абсолютной величине. При этом для любого рационального числа r ∈ ℚ |r|∏p |r|p = 1. Аналогичная формула имеет место и для полей алгебраич. чисел (см. [2], [3]). Если φ - нек-рое А. з. тела K, то К может быть вложено, при помощи классич. процесса пополнения, в тело Kφ, полное относительно А. з., продолжающего φ (см. Полное топологическое пространство). Одним из основных современных методов изучения полей является вложение поля К в прямое произведение Пφ Kφ ; пополнений Kφ поля К по всем А. з. (см. Адель); поле К плотно лежит в Пφ Kφ : именно, если φ1, φ2, ..., φn - нетривиальные неэквивалентные А. з. на поле К, а1, ..., аn - элементы из K и ε > 0, то существует такое а ∈ К, что φi (а - аi) < ε для всех i (теорема аппроксимации для А. з.).
А. з. поля К может быть продолжено (вообще говоря неоднозначно) на любое алгебраич. расширение поля К. Если К полно относительно А. з. φ, a L есть расширение К степени n, то продолжение φ на L единственно и задается формулой Лит. : [1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [5] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969. В. И. Данилов. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |