АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД

Расстановка ударений: АБСОЛЮ`ТНО СХОДЯ`ЩИЙСЯ РЯ`Д

АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД - ряд

(1)

с (вообще говоря) комплексными членами, для к-рого сходится ряд

(2)

Для абсолютной сходимости ряда (1) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости ряда), чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер n_ε, что для всех номеров n > n_ε и всех целых р ≥ 0 выполнялось неравенство

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Ряд

абсолютно сходится , а ряд

сходится, но не абсолютно. Пусть

(3)

- ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Из абсолютной сходимости ряда (1) следует и абсолютная сходимость ряда (3), и ряд(3) имеет ту же самую сумму, что и ряд (1). Если ряды

абсолютно сходятся, то: любая их линейная комбинация

также абсолютно сходится; ряд, полученный из всевозможных попарных произведений u_m v_n членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм данных рядов. Перечисленные свойства абсолютно сходящихся рядов переносятся и на кратные ряды

∑_{(n1, n2,... nk)} u_{n1, n2,... nk} (4)

При этом, если кратный ряд абсолютно сходится, то он сходится, напр., как в смысле сферических частных сумм, так и в смысле прямоугольных; притом его сумма в обоих случаях оказывается одной и той же. Если кратный ряд (4) абсолютно сходится, то повторный ряд

(5)

абсолютно сходится, т. е. абсолютно сходятся все ряды, получающиеся последовательным суммированием членов ряда (4) по индексам n₁, n₂,... n_k, причем суммы кратного ряда (4) и повторного (5) равны и совпадают с суммой любого однократного ряда, образованного из всех членов ряда (4).

Если члены ряда (1) суть элементы нек-рого банахова пространства с нормой элементов || ⋅ ||, то ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд

На случай А. с. р. элементов банахова пространства также обобщаются рассмотренные выше свойства абсолютно сходящихся числовых рядов, в частности А. с. р. элементов банахова пространства сходится в этом пространстве. Аналогичным образом понятие А. с. р. переносится и на кратные ряды в банаховом пространстве.

Лит. : [1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 1, 3 изд., М., 1971; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973; [3] Никольский СМ., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975.

Л. Д. Кудрявцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.