![]() |
АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛРасстановка ударений: АБСОЛЮ`ТНО СХОДЯ`ЩИЙСЯ НЕСО`БСТВЕННЫЙ ИНТЕГРА`Л АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ - несобственный интеграл, для к-рого интеграл от абсолютной величины подинтегральной функции сходится. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится. Пусть дан (для определенности) несобственный интеграл вида: ![]() (*) где функция f(x) интегрируема по Риману (или по Лебегу) на любом отрезке [а, η], а ≤ η < b. Для абсолютной сходимости интеграла (*) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости несобственного интеграла), чтобы для любого ε > 0 существовало такое ηε, а ≤ ηε < b, что для всех η ' и η '', ηε ≤ η ' < b, ηε ≤ η '' < b, выполнялось неравенство ![]() Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он равен интегралу Лебега от рассматриваемой функции. Существуют несобственные интегралы, сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся, напр. ![]() Чтобы определить сходится или нет заданный интеграл абсолютно, полезно использовать признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций; напр., с помощью сравнения признака устанавливается абсолютная сходимость интеграла ![]()
Для кратных несобственных интегралов (в большей части имеющихся определений) связь сходимости и абсолютной сходимости интегралов другая. Пусть на открытом множестве G n-мерного евклидова пространства определена функция f(x). Если для любой последовательности кубируемых областей Gk, k = l, 2, ..., монотонно исчерпывающей область G (т. е. Gk ⊂ ![]() существует при k → ∞ предел интегралов Римана ∫Gk f(x)dx, и этот предел не зависит от выбора указанной последовательности областей, то он обычно и наз. несобственным интегралом ∫G f(x)dx. Так определенный интеграл сходится тогда и только тогда, когда он абсолютно сходится. Существуют и другие определения несобственных кратных интегралов. Напр., для функции f(x), определенной на всем пространстве Еn и интегрируемой по Риману на любом n-мерном шаре Qr радиуса r < + ∞, можно определить несобственный интеграл по Еn равенством ![]() В этом случае из абсолютной сходимости интеграла снова следует просто сходимость, но обратное неверно. Лит. : [1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |