АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Расстановка ударений: АБСОЛЮ`ТНО СХОДЯ`ЩИЙСЯ НЕСО`БСТВЕННЫЙ ИНТЕГРА`Л

АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ - несобственный интеграл, для к-рого интеграл от абсолютной величины подинтегральной функции сходится. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится. Пусть дан (для определенности) несобственный интеграл вида:

(*)

где функция f(x) интегрируема по Риману (или по Лебегу) на любом отрезке [а, η], а ≤ η < b.

Для абсолютной сходимости интеграла (*) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости несобственного интеграла), чтобы для любого ε > 0 существовало такое η_ε, а ≤ η_ε < b, что для всех η ' и η '', η_ε ≤ η ' < b, η_ε ≤ η '' < b, выполнялось неравенство

Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он равен интегралу Лебега от рассматриваемой функции. Существуют несобственные интегралы, сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся, напр.

Чтобы определить сходится или нет заданный интеграл абсолютно, полезно использовать признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций; напр., с помощью сравнения признака устанавливается абсолютная сходимость интеграла

Для кратных несобственных интегралов (в большей части имеющихся определений) связь сходимости и абсолютной сходимости интегралов другая. Пусть на открытом множестве G n-мерного евклидова пространства определена функция f(x). Если для любой последовательности кубируемых областей G_k, k = l, 2, ..., монотонно исчерпывающей область G (т. е. G_k ⊂ ⊂ G_{k + 1}) и

существует при k → ∞ предел интегралов Римана

∫_Gk f(x)dx,

и этот предел не зависит от выбора указанной последовательности областей, то он обычно и наз. несобственным интегралом

∫_G f(x)dx.

Так определенный интеграл сходится тогда и только тогда, когда он абсолютно сходится. Существуют и другие определения несобственных кратных интегралов. Напр., для функции f(x), определенной на всем пространстве Еⁿ и интегрируемой по Риману на любом n-мерном шаре Q_r радиуса r < + ∞, можно определить несобственный интеграл по Еⁿ равенством

В этом случае из абсолютной сходимости интеграла снова следует просто сходимость, но обратное неверно.

Лит. : [1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975.

Л. Д. Кудрявцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.