АБСОЛЮТНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ

Расстановка ударений: АБСОЛЮ`ТНАЯ СУММИ`РУЕМОСТЬ

АБСОЛЮТНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ - специальный вид суммируемости рядов и последовательностей, выделяемый из обычной суммируемости наложением дополнительных условий. В матричном методе суммирования эти условия состоят в требовании абсолютной сходимости рядов или последовательностей, полученных в результате преобразования, соответствующего данному методу суммирования. Пусть метод суммирования А определен преобразованием последовательности {s_n} в последовательность {σ_n} посредством матрицы ||a_nk ||:

тогда последовательность {s_n} абсолютно суммируема методом А (|А|-суммируема) к пределу s, если она А-суммируема к этому пределу, т. е.

и последовательность {σ_n} имеет ограниченную вариацию:

(1)

Если s_n являются частичными суммами ряда

(2)

то в этом случае ряд (2) абсолютно суммируем методом А к сумме s. Условие (1) и есть то дополнительное условие, к-рое выделяет в этом случае А. с. из обычной суммируемости. Аналогично определяется А. с. для методов, определяемых матричными преобразованиями рядов в последовательности. Если же метод суммирования определен преобразованием ряда (2) в ряд

(3)

посредством матрицы ||b_nk || :

то дополнительное условие здесь состоит в требовании абсолютной Сходимости ряда (3). В частном случае, когда методу А соответствует тождественное преобразование последовательности в последовательность или ряда в ряд, А. с. ряда совпадает с его абсолютной сходимостью.

Для нематричных методов суммирования соответствующие дополнительные условия надлежащим образом видоизменяются. Так, для Абеля метода суммирования таким условием является требование, чтобы функция

имела ограниченную вариацию на полуинтервале 0 ≤ х < 1. Для интегральных методов суммирования А. с. выделяется требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Так, в Бореля методе суммирования должен абсолютно сходиться интеграл

Метод суммирования наз. сохраняющим абсолютную сходимость ряда, если он абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом к той же сумме, к к-рой он сходится, то метод наз. абсолютно регулярным. Напр., Чезаро метод суммирования (С, k) абсолютно регулярен при k ≥ 0. Метод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и достаточными условиями абсолютной регулярности метода суммирования, определенного преобразованием ряда в ряд посредством матрицы ||b_nk ||, являются условия:

(теорема Кноппа-Лоренца). Имеются аналоги этих условий и для методов суммирования, определяемых преобразованиями других видов.

Обобщением А. с. является абсолютная суммируемость в степени р (p ≥ 1). Дополнительным условием, выделяющим А. с. в степени р из обычной суммируемости, напр., для метода суммирования, заданного преобразованием последовательности {s_n} в последовательность {σ_n}, является условие:

Понятие А. с. введено Э. Борелем (Е. Borel) для одного из его методов в формулировке, отличной от современной: А. с. выделялась требованием

Для каждого р = 0, 1, 2,.... А. с. применялась первоначально при исследовании суммируемости степенных рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умножения суммируемых рядов была определена и исследовалась А. с. методами суммирования Чезаро (|С, к| - суммируемость). Общее определение А. с. возникло позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье.

Лит. : [1] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [2] Kogbetliantz Е., Sommation des sèrieset intégrates divergentes par les moyennes arlthmétiques et̂ t̂ypiques, P., 1931; [3] Knоpp K., Lorentz G. G., «Arch. Math. », 1949/50, Bd 2, S. 10 - 16; [4] Кангро Г. Ф., в сб. : Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974.

И. И. Волков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.