АБСОЛЮТ

Расстановка ударений: АБСОЛЮ`Т

АБСОЛЮТ - 1) А. регулярного топологического пространства X - пространство аХ, обладающее тем свойством, что оно совершенно и неприводимо отображается на X, а всякий совершенный неприводимый прообраз пространства аХ гомеоморфен пространству аХ. У каждого регулярного пространства X имеется единственный А. При этом А. пространства X всегда экстремально несвязан и вполне регулярен и отображается на X совершенно и неприводимо посредством отображения π_X : аХ → Х. Если два пространства X и Y связаны (однозначным или многозначным) совершенным неприводимым отображением f: X → Y, то их А. гомеоморфны и существует такой гомеоморфизм f_a : aX → aY, что f = π_X f_a π_X^{- 1} .

Если дан гомеоморфизм f_a : aX → aY, то отображение, вообще говоря, многозначное, f = f = π_Y f_a π_X^{- 1} неприводимо и совершенно. Таким образом, А. и их гомеоморфизмы «управляют» всем классом совершенных неприводимых отображений регулярных пространств. Это фундаментальное свойство означает, что А. регулярных топологич. пространств являются проективными объектами в категории регулярных пространств и совершенных неприводимых отображений. Если регулярное пространство X, соответственно, бикомпактно, финально компактно, полно в смысле Чеха, то тем же свойством обладает и А. этого пространства. У паракомпактного пространства А. даже сильно паракомпактен и, более того, совершенно нульмерен. Но А. нормального пространства может не быть нормальным. Если X - вполне регулярное пространство, то расширение Стоуна-Чеха (см. Стоуна-Чеха бикомпактное расширение) его А. является А. любого бикомпактного расширения пространства X. Два пространства называются соабсолютными, если их А. гомеоморфны.

Таким образом, класс регулярных пространств разбивается на дизъюнктные (попарно непересекающиеся) классы соабсолютных пространств. Пространство X соабсолютно с некоторым метрическим пространством тогда и только тогда, когда оно является паракомпактным перистым пространством и в нем существует плотная σ - дискретная система открытых множеств. Бикомпакт соабсолютен с нек-рым компактом в том и только том случае, когда он имеет счетный π-вес. Если бикомпакт имеет счетный π-вес и не имеет изолированных точек (и только в этом случае), то он соабсолютен с канторовым совершенным множеством. Следовательно, все компакты без изолированных точек соабсолютны с канторовым совершенным множеством. А. счетного компакта является расширением Стоуна-Чеха пространства натуральных чисел. А. экстремально несвязного пространства гомеоморфен ему. Таким образом, класс А. (каких бы то ни было) регулярных пространств совпадает с классом экстремально несвязных пространств. Так как недискретное экстремально несвязное пространство не содержит никакой сходящейся последовательности попарно различных точек, А. любого недискретного пространства неметризуем (и даже не удовлетворяет первой аксиоме счетности).

Среди многочисленных способов построения абсолюта аХ данного (регулярного) пространства X одним из простейших является следующий.

Семейство ξ = {А} непустых канонич. χ а-множеств, т. е. замкнутых канонич. множеств А пространства X, наз. нитью, если оно направлено по включению, т. е. если ко всяким двум элементам А, А' семейства ξ существует элемент А", содержащийся в А ∩ А'. Нить ξ наз. максимальной, или концом, если она не является подсемейством никакой отличной от нее нити. Можно доказать, что нити существуют; более того, что для каждого непустого χ а-множества А множество D_a всех нитей, содержащих множество А в качестве элемента, непусто. Каждая нить содержится в нек-рой максимальной нити. Пересечение всех множеств, являющихся элементами максимальной нити ξ, или пусто, или состоит из единственной точки х(ξ); в последнем случае нить ξ наз. сходящейся (к точке х(ξ)). В множестве Х всех концов вводят топологию, объявляя совокупность всех множеств D_A ее замкнутой базой. Полученная топология оказывается хаусдорфовой и бикомпактной. Сходящиеся концы в бикомпакте Х образуют всюду плотное подпространство. Подпространство пространства Х, состоящее из всех сходящихся концов, и есть абсолют Х пространства X; при этом оказывается, что бикомпакт Х есть не что иное, как максимальное бикомпактное расширение Стоуна-Чеха β аХ абсолюта аХ. Если же X не только регулярно, но и вполне регулярно, то имеет место формула переместительности операторов а и β :

В. И. Пономарев.

θ - абсолют пространства θ - близости (X, δ) - пара (Х_δ, π_X), состоящая из близости пространства Х_δ и проекции их π_X : Х_δ → Х, являющейся регулярным θ-отображением. При этом θ-отображением называется всякое θ - совершенное, неприводимое, θ - близостно непрерывное отображение. У всякого пространства θ - близости существует единственный θ - А. Всякое регулярное θ-отображение на θ - А. есть близостная эквивалентность. θ - А. пространства (X, δ) является максимальным прообразом пространства (X, δ) относительно регулярных θ-отображений. Для всякого регулярного θ-отображения f : (х, δ) → (У, δ ') существует такая близостная эквивалентность F : Х_δ → Y_δ, что коммутативна следующая диаграмма:

Для максимальных θ-близостей на регулярных топологич. пространствах понятие регулярного θ - отображения совпадает с понятием совершенно неприводимого отображения, а понятие θ - А. - с понятием А. регулярного топология, пространства.

В. В. Федорчук.

Лит. : [1] Пономарев В. И., «Успехи матем. наук», 1966, т. 21, в. 4, с. 101-32; [2] Gleason А. М., «III. J. Math. », 1958, v. 2, № 4 (А), р. 482-89; [3] Пономарев В. И., «Матем. сб. », 1963, т. 60, № 1, с. 89-119; [4] Федорчук В. В., «Матем. сб. », 1968, т. 76, № 4, с. 513-36.

2) Абсолют в проективной геометрии - кривая (поверхность) 2-го порядка, представляющая собой множество бесконечно удаленных точек в Клейна интерпретации гиперболич. плоскости (пространства). При помощи А. может быть введено мероопределение в проективной плоскости (пространстве) (см. Проективное мероопределение). Напр., проективная мера отрезка АВ определяется как величина, пропорциональная натуральному логарифму двойного отношения (ABCD) четырех точек, где С и D - точки пересечения прямой АВ с А.

А. Б. Иванов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.