АБЕЛЯ-ГОНЧАРОВА ПРОБЛЕМА

Расстановка ударений: А`БЕЛЯ-ГОНЧАРО`ВА ПРОБЛЕ`МА

АБЕЛЯ-ГОНЧАРОВА ПРОБЛЕМА, проблема Гончарова, - проблема в теории функций комплексного переменного, состоящая в нахождении множества всех функций f(z) из того или иного класса, удовлетворяющих соотношениям f⁽ⁿ⁾ (λ_n) = A_n (n = 0, 1,...), где {А_n} и {λ_n} - допустимые для данного класса последовательности комплексных чисел. Эта проблема была поставлена В. Л. Гончаровым (см. [2]).

Функции f(z) ставится в соответствие ряд

(*)

- интерполяционный ряд Абеля-Гончарова, где Р_n (z) - полином Гончарова, определяемый равенствами:

Случай, когда λ_n = a + nh(n = 0, 1,...), а и h - действительные числа (h ≠ 0), с формальной точки зрения рассмотрен Н. Абелем (см. [1]). Здесь

Ряд (*) является инструментом для изучения нулей последовательных производных регулярных функций. Множество функций f(z), представимых рядом (*), наз. классом сходимости А.-Г. п.

В случае был выделен класс сходимости

А.-Г. п. в терминах ограничений на порядок и тип целых функций f(z) в зависимости от роста величины

(см. [2]).

В случае λ_n = n^1/ρ l(n), где l(n) - медленно растущая функция, 0 < ρ < ∞, был получен в нек-ром смысле точный класс сходимости А.-Г. п. (см. [6]). Были выделены также классы сходимости А.-Г. п. для целых функций конечного и бесконечного порядков в терминах различных ограничений, наложенных на индикаторы соответствующих классов функций; рассмотрена А.-Г. п. для целых функций многих переменных. Для нек-рого класса узлов интерполяции получены точные оценки полиномов Гончарова.

Пусть A_r^α - класс функций f(z) вида

0 < r < ∞, 0 ≤ α < ∞, Λ_α - класс всевозможных последовательностей {λ_n} таких, что |λ_n | ≤ (n + 1)^{α - 1}, n = = 0, 1,.... Границей сходимости для класса Λ_α наз. верхняя грань S_α тех значений r, для к-рых всякая функция f(z) ∈ A_r^α представима рядом (*). Нижняя грань W_α тех r, для к-рых существуют функция f(z) ∈ A_r^α и последовательность {λ_n} ∈ Λ_α такие, что f⁽ⁿ⁾ (λ_n) = 0, n = 0, 1, ..., f(z) ≢ 0, наз. границей единственности. Величины W₁ и W₀ наз. соответственно константами Уиттекера и Гончарова. Было показано, что S₁ = W₁ (см. [6]); доказаны также более общие утверждения:

S_α = W₁ и W_α = W₁, 0 ≤ α < ∞

(см. [5], [10]).

Таким образом, при {λ_n} ∈ Λ_α А.-Г. п. сводится к нахождению константы W₁ . Ее точное числовое значение неизвестно, однако найдены оценки: 0, 7259 < W₁ < 0, 7378 (см. [9]).

При рассмотрении А.-Г. п. в классе А₁^* функций, регулярных в области |z| ≥ 1 и таких, что f(∞) = 0, было показано, что для любого множества чисел {λ_k}, λ_k ≥ 1, удовлетворяющих условию

где {n_k} - возрастающая подпоследовательность натуральных чисел, из равенств f^n_k (λ_k) = 0, k = 0, 1, ..., следует f(z) ≡ 0. Причем для любого числа b > 0 существуют последовательность {λ_n},

и функция f(z) ≢ 0, f(z) ∈ A₁^*, для к-рых f⁽ⁿ⁾ (λ_n) = 0, n = 0, 1,... (см. [7]).

А.-Г. п. включает так наз. задачу о двух точках, поставленную Э. Уиттекером (см. [12]). Пусть последовательности {ν_k} и{μ_n} таковы, что {ν_k} ∪ {μ_n} = {n} и {ν_k} ∩ {μ_n} = ∅ Задача состоит в выяснении условий, при к-рых существует регулярная на отрезке [0, 1] функция f(z) ≢ 0, удовлетворяющая условиям f^(ν_k) (1) = 0, f^(μ_n) (0) = 0. Эта задача решалась в различных подклассах класса функций, регулярных в круге |z| < R (R > 1). Полученные в нек-ром смысле точные условия выражены в терминах различных ограничений, наложенных на коэффициенты a_νk разложений

в зависимости от {ν_k} (см. [3]). Эта задача была обобщена, для решения ее были использованы методы теории бесконечных систем линейных уравнений (см. [4]). В частном случае, когда последовательность {ν_k} образует арифметич. прогрессию для целых функций экспоненциального типа, задача о двух точках в известном смысле решена до конца (см. [8]).

Лит. : [1] Abеl N. Н., Oeuvres complètes, t. 2, Christiania, 1839, p. 77-88; [2] Gontcharoff W. L., «Ann. Ec. Norm. Super. », 1930, t. 47, p. 1-78; [3] Гeльфонд А. О., Ибрагимов И. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем. », 1947, т. 11, № 6, с. 547-60; [4] Джрбашян М. М., там же, 1952, т. 16, №3, с. 225-52; [5] Драгилев М. М., Чухлова О. П., «Сиб. матем. ж. », 1963, т. 4, № 2, с. 287-94; [6] Евграфов М. А., Интерполяционная задача Абеля-Гончарова, М., 1954; [7] Казьмин Ю. А., «Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех. », 1963, № 1, с. 26-34; [8] Казьмин Ю. А., «Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех. », 1965, № 6, с. 37-44; [9] Масtntуrе S. S., «Trans. Amer. Math. Soc. », 1948, v. 67, p. 241-52; [10] Суетин Ю. К., «Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех. », 1966, № 5, с. 16-25; [11] Оcколков В. А., «Матем. сб. », 1973, т. 92, №1, с. 55-59; [12] Whittaker J. Т., Interpolatory function theory, Camb., 1935.

В. А. Осколков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.