АБЕЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Расстановка ударений: А`БЕЛЯ ИНТЕГРА`ЛЬНОЕ УРАВНЕ`НИЕ

АБЕЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ - интегральное уравнение

(1)

к к-рому сводится решение Абеля задачи. А. и. у. наз. также более общее уравнение (обобщенное А. и. у.)

(2)

где а > 0 и 0 < α < 1 - заданные постоянные, f(x) - известная функция, а φ (х) - искомая функция. Выражение (х - s)^{- α} наз. ядром А. и. у., или ядром Абеля. А. и. у. принадлежат к классу Вольтерра уравнений 1-го рода. Уравнение

(3)

наз. А. и. у. с постоянными пределами.

Если f(x) - непрерывно дифференцируемая функция, то А. и. у. (2) имеет единственное непрерывное решение, представимое формулой

(4)

или, что то же самое, формулой

(5)

Формула (5) является решением А. и. у. (2) при более широких предположениях (см. [3], [4]). Так, в [3] показано, что если f(x) абсолютно непрерывна на отрезке [а, b], то А. и. у. (2) имеет в классе интегрируемых по Лебегу функций единственное решение, определяемое формулой (5). Решение А. и. у. (3) дано в [2]; см. также [6].

Лит. : [1] Вocher М., «Trans. Amer. Math. Soc. », 1909, v. 10, p. 271-78; [2] Сarleman Т., «Math. Z. », 1922, Bd 15, S. 111-20; [3] Tonelli Z., «Math. Ann. », 1928, Bd 99, S. 183-99; [4] Tamarkin J., «Ann. Math. », 1930, v. 31, p. 219-29; [5] Mиxлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., 1959; [6] Гахов Ф. Д., Краевые задачи, 2 изд., М., 1963.

Б. В. Хведелидзе.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.