АБЕЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Расстановка ударений: А`БЕЛЯ ДИФФЕРЕНЦИА`ЛЬНОЕ УРАВНЕ`НИЕ

АБЕЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ - обыкновенное дифференциальное уравнение

y' = f₀ (x) + f₁ (x)y + f₂ (x)y² + f₃ (x)y³

(А. д. у. 1-го рода) или

[g₀ (x) + g₁ (x)y]y' = f₀ (x) + f₁ (x)y + f₂ (x)y² + f₃ (x)y³

(А. д. у. 2-го рода). Эти уравнения возникли в связи с исследованиями Н. Абеля [1] по теории эллиптич. функций. А. д. у. 1-го рода представляет естественное обобщение Риккати уравнения.

Если f₁ ∈ C(a, b), f₂ и f₃ ∈ C¹ (a, b) и f₃ (x) ≠ 0 при x ∈ [a, b], то А. д. у. 1-го рода заменой переменных (см. [2]) приводится к нормальной форме dz/dt = = z³ + Ф(t). В общем случае А. д. у. 1-го рода в замкнутой форме не интегрируется; это удается сделать лишь в отдельных частных случаях (см. [2]). Если g₀ и g₁ ∈ C¹ (a, b) и g₁ (x) ≠ 0, g₀ (x) + g₁ (x)y ≠ 0, то А. д. у. 2-го рода сводится к А. д. у. 1-го рода подстановкой g₀ (x) + g₁ (x)y = 1/z.

А. д. у. 1-го и 2-го рода, как и их дальнейшие обобщения

подробно рассматривались в комплексной области (см., напр., [3]).

Лит. : [1] Abel N. Н., «J. reine und angew. Math. », 1829, Bd 4, S. 309-48; [2] Камкe Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [3] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М. - Л., 1950.

Н. X. Розов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.