НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

АБЕЛЕВА ФУНКЦИЯ

Расстановка ударений: А`БЕЛЕВА ФУ`НКЦИЯ

АБЕЛЕВА ФУНКЦИЯ - обобщение эллиптической функции одного комплексного переменного на случай многих комплексных переменных. Мероморфная в комплексном пространстве ℂp, p ≥ 1 функция f(z) от р комплексных переменных z1, z2, ..., zp z = (z1, z2, ..., zp), наз. А. ф., если существуют 2р векторов - строк из ℂp

wν = (w, w, ..., w), ν = 1, 2, ..., 2p,

линейно независимых над полем действительных чисел и таких, что f(z + wν) = f(z) для всех z ∈ ℂp, ν = l, 2, ..., 2р. Векторы wν наз. периодами, или системами периодов, А. ф. f(z). Все периоды А. ф. f(z) образуют абелеву группу Г по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов). Базис этой группы наз. базисом периодов А. ф., а также системой основных (или примитивных) периодов. А. ф. наз. вырожденной, если существует такое линейное преобразование переменных z1, z2, ..., zp, к-рое переводит f(z) в функцию меньшего числа переменных; в противном случае f(z) наз. невырожденной А. ф. Вырожденные А. ф. характеризуются также тем, что они имеют бесконечно малые периоды, т. е. для любого числа ε > 0 можно найти период wν, для к-рого

Если р = 1, то невырожденные А. ф. суть эллиптич. функции одного комплексного переменного. Каждая А. ф. с группой периодов Г естественным образом отождествляется с мероморфной функцией на комплексном торе ℂp /Г, т. е. на факторпространстве ℂp /Г (см. также Квазиабелева функция).

Исследование А. ф. началось в 19 в. в связи с проблемой обращения абелевых интегралов I рода (см. Якоби проблема обращения, [1], [2]). Возникающие при решении этой проблемы А. ф. наз. специальными А. ф., а иногда в старых работах под А. ф. только они и подразумевались. Пусть u1, u2, ..., up - линейно независимые нормальные абелевы интегралы I рода, построенные на римановой поверхности F:

а

- заданная система сумм, в к-рой нижние пределы интегрирования c1, с2, ..., сp считаются фиксированными на поверхности F. Тогда специальные А. ф. можно определить как все рациональные функции координат р верхних пределов x1, x2, ..., xp, рассматриваемых в свою очередь как функции от р точек z1, z2, ..., zp поверхности F. В символической записи, ведущей свое начало от К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), любую специальную А. ф. Al(z) можно изобразить в виде

Al(z) = Al(z1, z2, ..., zp) = R[x1 (z1, z2, ..., zp), x2 (z1, z2, ..., zp), xp (z1, z2, ..., zp)].

Соответствующие специальным А. ф. комплексные торы ℂp /Г являются Якоби многообразиями алгебраич. кривых.

Матрица W, столбцы к-рой образуют базис периодов А. ф. f(z), имеет размер р×2р и наз. матрицей периодов А. ф. f(z). Для того чтобы данная матрица W размера р×2р была матрицей периодов нек-рой невырожденной А. ф. f(z), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла определенным условиям (условия Римана-Фробениуса). Она должна являться римановой матрицей, т. е. для W должна существовать такая антисимметрическая неособенная целочисленная квадратная матрица М порядка 2р, что: 1) WMWT = 0, где WT - транспонированная матрица W; 2) матрица iWMT определяет положительно определенную эрмитову форму (см. [3]). Если выразить условия 1) и 2) в виде соответственно уравнений и неравенств, то получится система р(р - 1)/2 римановых уравнений и р(р - 1)/2 римановых неравенств. Число р наз. родом матрицы W и соответствующей А. ф. f(z). Столбцы wv = Rewv + iImwv матрицы W, рассматриваемые как векторы в действительном евклидовом пространстве R2p, определяют параллелотоп периодов А. ф. f(z).

Все А. ф., соответствующие одной и той же матрице периодов W, образуют абелево функциональное поле KW . В случае, когда поле KW содержит невырожденную А. ф., степень его трансцендентности над полем ℂ равна р; тор ℂp /Г при этом является абелевым многообразием, a KW совпадает с его полем рациональных функций. Если же все А. ф. из КW вырожденные, то КW изоморфно полю рациональных функций на абелевом многообразии, размерность к-рого меньше р. См. также Квазиабелева функция.

Подобно эллиптич. функциям, каждая А. ф. может быть представлена в виде отношения двух целых трансцендентных тeтa-функций, представимых в свою очередь в виде тeтa-рядов. Задание римановой матрицы W определяет класс тета-рядов, позволяющий построить все А. ф. поля КW .

Для специальных А. ф. матрица W посредством линейного преобразования независимых переменных z1, z2, ..., zp всегда может быть приведена к виду

При этом римановы соотношения между элементами матрицы ||ajk ||, j, k = 1, 2, ..., р, должны обеспечивать симметрию этой матрицы, ajk = akj, и положительную определенность матрицы действительных частей ||Reajk ||, j, k = 1, 2, ..., р. Однако при р > 3 независимых среди элементов ajk матрицы ||ajk || будет только 3(р - 1), т. е. столько, сколько конформных модулей имеет риманова поверхность F, на к-рой решается проблема обращения (см. Модули римановой поверхности). Помимо римановых соотношений, в этом случае между ajk существует (р - 2)(р - 3)/2 соотношений трансцендентной природы, явный вид которых для случая р = 4 впервые нашел в 1886 Ф. Шотки (F. Schottky; обзор последующих достижений по этой проблеме см. в [5]).

Специальные А. ф. представимы в виде отношения двух целых тета-функций с полуцелыми характеристиками специального вида. Из этого представления вытекает ряд свойств специальных А. ф., обобщающих многие свойства эллиптич. функций; так: производные А. ф. f(z) по любому аргументу zj - суть А. ф. ; любые р + 1 А. ф. связаны алгебраич. уравнением; любую А. ф. можно выразить рационально через р + 1 нек-рых А. ф., напр. через произвольную А. ф. и ее р частных производных 1-го порядка; для А. ф. справедлива теорема сложения, т. е. значение А. ф. в точке a + b ∈ ℂp можно выразить рационально через значения нек-рых р + 1 А. ф. в точках а, b ∈ ℂp .

А. ф. имеют большое значение в алгебраич. геометрии как средство униформизации алгебраич. многообразий определенных классов.

Лит. : [1] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960, гл. 10; [2] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. - Л., 1948, гл. 8, 9; [3] 3игель К., Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1954; [4] Вейль А., Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М., 1961; [5] Мамфорд Д., «Математика», 1973, т. 17, № 4, с. 34-49; [6] Stаhl Н., Theorie der Abelschen Funktionen, Lpz., 1896; [7] Сlebsсh A., Gоrdаn P., Theorie der Abelschen Funktionen, Lpz., 1866; Neudruck, Würzburg, 1967; [8] Conforto F., Abelsche Funktionen und algebraische Geometrie, B. - [u. a.], 1956.

E. Д. Соломенцев.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru