Возмутитель спокойствия

Явление большого ученого - это не только переосмысление старых проблем науки с помощью новых, оригинальных методов, это еще и новое прочтение старых, уже испытанных методов исследования под совершенно необычным углом зрения.

По мере того как все яснее становилась практическая неразрешимость большей части дифференциальных уравнений, математики постепенно меняли свое мнение о том, что понимать под их решением. Первоначально само собой разумелось, что результаты интегрирования должны представляться известными функциями. Но круг интегрируемых таким образом уравнений оставался весьма узким. Поэтому согласились считать решением всего лишь промежуточный результат на пути к нему - некое математическое выражение, стоящее под знаком интеграла. Примирились с тем, что не удается довести дело до желаемого конца и записать итог в более приемлемом виде. Вскоре и такое решение расширенного толка показалось не всегда доступной роскошью. Тогда математики, продолжая следовать по пути снижения своих требований, стали включать в понятие "решение" еще более странные математические объекты.

Еще в XVIII веке результат интегрирования дифференциального уравнения выражали порой в виде бесконечного ряда слагаемых, каждое из которых строилось с помощью известных функций по определенному правилу. Обоснованное истолкование этого метода было получено в первой половине XIX века, когда математики убедились, что такие бесконечные ряды тоже являются своеобразными функциями. Более того, каждую известную в то время функцию можно было разложить в подобный бесконечный ряд, но далеко не каждому ряду можно было сопоставить какую-либо функцию. Это наталкивало на мысль, что ряды образуют более широкий класс функций, намного перекрывающий всю совокупность алгебраических, трансцендентных и высших трансцендентных функций. Тогда естественно было искать решение дифференциального уравнения в виде бесконечного ряда, если его невозможно получить в обычных функциях.

Интегрирование дифференциальных уравнений рядами имело исключительно важное значение для небесной механики. Этот метод позволял рассчитывать координаты небесных тел на небосводе для любого момента времени, то есть удовлетворял основную насущную потребность практической астрономии. Необходимо только, чтобы полная сумма всех членов ряда была конечной величиной, несмотря на бесконечное число слагаемых. Ничего парадоксального в этом требовании не было. Например, бесконечная сумма чисел: ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + и так далее, в которой каждое последующее слагаемое вдвое меньше предыдущего, равна в точности единице. Математики, уже много раз имевшие дело с аналогичными рядами, только составленными из функций, а не из чисел, называли их сходящимися. Слагаемые в таком бесконечном сходящемся ряду должны неуклонно уменьшаться по величине с удалением от начала ряда. Тогда для практических расчетов можно ограничиться суммой некоторого числа первых, наибольших членов ряда и получить приближенное значение решения. Вклад неучтенных, отброшенных слагаемых в общую сумму будет существенно меньшим. Так, в приведенном выше числовом ряду сумма первых трех слагаемых равна ⁷/₈, то есть близка к единице, и только ¹/₈ приходится на долю бесконечной вереницы оставшихся его членов.

При таком методе абсолютно точное решение остается неизвестным, поскольку невозможно просуммировать бесконечное число слагаемых. Но астрономов-практиков вполне устраивали их приближенные расчеты. Ведь ограничения на точность были чисто техническими. Всегда можно добавить к вычисленной сумме одно-два слагаемых и тем самым еще приблизиться к истинному значению искомой величины. При желании такое уточнение можно продолжать беспредельно, сдерживает только непомерно возрастающий объем вычислений. Да и не нужны чересчур уж скрупулезные расчеты, точность которых превышает возможности астрономических приборов. А если у кого-то и были претензии к приближенным теоретическим результатам, так ведь точное решение все равно недоступно. Поэтому математики продолжали совершенствовать метод интегрирования дифференциальных уравнений рядами.

Очень многое зависело от того, каким бесконечным рядом представляется решение. Хорошо, если слагаемые достаточно быстро уменьшаются по величине с удалением от начала ряда. Тогда не приходится много считать: просуммировав несколько первых членов, можно получить нужную точность решения. Поэтому астрономы и математики самое серьезное внимание уделяли подбору рядов. Но долгое время им не везло. Во всех рядах появлялись слагаемые, в которые время входило в качестве сомножителя. При астрономических прогнозах на длительный период сомножитель этот получался большим, содержащее его слагаемые убывали очень медленно, а то и вовсе не убывали, сходимость ряда в таких случаях нарушалась или находилась под сомнением. Избавление от так называемых "вековых" членов, содержащих время сомножителем, стало самой актуальной проблемой небесной механики XIX века.

Первым добился успеха французский астроном Ш. Делоне, который в 1860 году показал, что положение Луны может быть рассчитано с помощью ряда, слагаемые которого состоят только из тригонометрических функций, без всяких "вековых" членов. В 1874 году американский астроном С. Ньюком доказал, что чисто тригонометрические ряды пригодны для вычисления положений планет. Вслед за ними Г. Хилл, А. Линдстедт, Г. Гильден, Ф. Тиссеран и другие ученые всесторонне исследовали различные способы интегрирования дифференциальных уравнений рядами, не содержащими "вековые" члены. Доведенный их коллективными усилиями до высокой степени совершенства метод рассматривался тогда как крупная победа. Астрономы и математики не могли нарадоваться на чудесные ряды, которые с успехом использовались ими во многих задачах небесной механики, например в задаче трех тел, и, казалось бы, удовлетворяли всем запросам. Но снизошедшие на них довольство и успокоение длились недолго!

Гром грянул неожиданно, когда в печати появилась работа Пуанкаре, удостоенная премии Оскара II. Полностью его исследования бесконечных рядов, используемых в небесной механике, были изложены во втором томе "Новых методов". Этот том так и озаглавлен - "Методы Ньюкома, Гильдена, Линдстедта и Болина". К величайшему изумлению астрономов, Пуанкаре безукоризненными математическими выкладками доказывает, что предложенные этими учеными ряды, составлявшие предмет всеобщей гордости и поклонения, расходятся. Бесконечная совокупность их слагаемых не выражает в сумме никакой конечной величины. Его результаты вызвали настоящее замешательство у всех, кто в своих исследованиях прибегал к тригонометрическим рядам. Шутка ли, точное решение, которое подразумевалось ими в недосягаемом пределе и к которому, как им казалось, они стремятся, является фикцией, плодом их воображения! Чего стоят тогда все их достижения? Строго говоря, этими расходящимися рядами никто не имел права пользоваться. Их создатели не угадали в свое время скрытый в них дефект, и вот теперь наступает расплата.

Разочарование было столь велико, что тот первоначальный энтузиазм, с которым астрономы ревностно пропагандировали новые ряды, мгновенно угас. Именно это имел в виду Вейерштрасс, когда в письме к Ковалевской подчеркивал, что "достоинство исследований Пуанкаре состоит больше в их отрицательных, а ню в положительных результатах". Об этом же он пишет Миттаг-Леффлеру, указывая, что астрономов эта работа "не очень-то ободрит, так как уничтожает некоторые их давнишние иллюзии и опровергает многое из того, что казалось им прежде обоснованным. Например, доказывается расходимость рядов, к которым приводят методы Ньюкома, Линдстедта и других".

Однако обескураживающим выводам Пуанкаре кое-что противоречило. Почему применение этих непригодных рядов почти всегда приводит к хорошему совпадению теоретических расчетов с непосредственными астрономическими наблюдениями? Пуанкаре сумел разгадать и этот парадокс. Оказывается, эти расходящиеся ряды обладают весьма замечательным свойством: слагаемые их сначала очень быстро убывают, а затем начинают медленно возрастать. Астрономы при своих практических расчетах ограничивались лишь суммой некоторого числа первых членов. Вся их работа протекала на том начальном участке ряда, где он ведет себя как сходящийся. Именно поэтому теоретические результаты с весьма приемлемой точностью представляли реальное движение планет. Но если бы кому-то вздумалось прихватить еще некоторое количество слагаемых, чтобы повысить точность расчетов, он добился бы, к своему удивлению, прямо противоположного эффекта. С увеличением числа суммируемых членов ряда несовпадение теоретических результатов с данными наблюдений только усугубилось бы. Ведь после первых уточняющих членов следует расходящийся бесконечный "хвост" ряда.

Так Пуанкаре вскрыл истинную сущность основных рабочих методов небесной механики, дал совершенно новое видение применяемых в ней математических средств. Он развенчал широко использовавшиеся астрономами ряды, которые казались некоторым истиной в последней инстанции. Но это не было бесплодным отрицанием, обрекающим их на забвение. Пуанкаре оправдал применение этих рядов в определенных пределах и указал те границы, в которых они дают верные результаты. По существу, он дал еще одно толкование понятия "решение" дифференциального уравнения, еще один его вариант - интегрируемость расходящимися рядами. С этой целью Пуанкаре четко разграничивает два различных понимания термина "сходимость". Чистые математики говорят, что ряд сходится и может служить решением дифференциального уравнения, если сумма его членов стремится в пределе к какой-то конечной величине. При этом их совершенно не волнует то обстоятельство, что первые слагаемые могут убывать чрезвычайно медленно и при практических расчетах с такими рядами получается чересчур низкая, никого не устраивающая точность. Астрономы же будут считать ряд сходящимся и пригодным для решения своих задач, если взятые подряд его первые члены, скажем, в количестве двадцати, быстро убывают, пусть даже все следующие после них слагаемые неограниченно возрастают. Обе точки зрения законны, считает Пуанкаре, одна в сугубо математических исследованиях, другая в прикладных численных расчетах. Но второй подход давал право на плодотворную жизнь расходящимся бесконечным рядам, которые до этого считались практически совершенно бесполезными.

Именно после работ Пуанкаре интерес к расходящимся рядам настолько возрос, что в 1898 году Парижская академия объявила конкурс на тему "Исследование возрастающей роли расходящихся рядов в анализе". Большим призом был отмечен мемуар молодого, только что завоевавшего известность математика Эмиля Бореля, которому предстояло в ближайшем будущем существенно продвинуть вперед теорию решения дифференциальных уравнений с помощью расходящихся рядов. На последних страницах книги мы еще встретимся с этим уже ставшим знаменитым математиком, который сыграет немаловажную роль в упрочении посмертной славы Анри Пуанкаре.

Таким образом, несмотря на расходимость рядов, ничто не мешало астрономам использовать их в своей практической работе. Нужно было только помнить о том, что точность решения, которое можно вычислить с их помощью, в принципе ограничена, и невозможно сколь угодно близко подходить к истинной предельной величине.