Глава 22. Занимательная топология

Топологами принято называть математиков, которые не могут отличить кофейную чашку от бублика. По-скольку предмет, имеющий форму кофейной чашки, непрерывной деформацией можно перевести в другой предмет, имеющий форму бублика, оба предмета топологически эквивалентны, а топологию, если не гнаться за точностью, можно определить как науку, изучающую свойства фигур, инвариантные относительно непрерывных деформаций. Множество математических забав и развлечений (в том числе различного рода волшебные фокусы, головоломки и игры) тесно связано с топологией. Топологам они могут показаться тривиальными, но для остальной части человечества эти забавы остаются вполне занятными.

Несколько лет назад С. Джуда придумал необычный фокус. Шнурок от ботинок тщательно наматывают на карандаш и соломинку для коктейля. Если потянуть за концы шнурка, то кажется, что шнурок проходит сквозь карандаш и перерезает соломинку пополам. С разрешения Джуды мы раскрываем здесь секрет этого фокуса.

Прежде всего расплющим соломинку и прикрепим с помощью резинки один ее конец к концу незаточенного карандаша (рис. 120, а). Перегнем соломинку пополам и попросим кого-нибудь подержать карандаш обеими руками так, чтобы карандаш был отклонен от вас под углом 45°. Натянув шнурок, приложим его к карандашу - середина шнурка должна оказаться примерно на середине карандаша (рис. 120, б) - и перехлестнем концы шнурка накрест с другой стороны карандаша (рис. 120, в). Следует особенно тщательно следить за тем, чтобы в дальнейшем при каждом перехлесте сверху оказывался один и тот же конец шнурка, например конец а, иначе фокус не получится.

Рис. 120. Фокус со шнурком, проходящим сквозь карандаш

Потянув концы на себя, перехлестнем их еще с передней стороны карандаша (рис. 120, г), отогнем свободный конец соломинки вверх (рис. 120, д) и также прикрепим его к концу карандаша резинкой. Еще раз перехлестнем концы шнурка накрест (напомним, что конец a всегда должен быть сверху, а конец b - снизу), чтобы "привязать" соломинку к карандашу (рис. 120, е). Отведя концы шнурка назад, перехлестнем их еще раз под карандашом (рис. 120, ж), а затем, потянув их на себя, перехлестнем в последний раз над соломинкой (рис. 120, з). На рис. 120 все петли, которыми шнурок обвил карандаш, несколько раздвинуты для наглядности. Показывая фокус, старайтесь сгруппировать все петли как можно ближе к середине карандаша.

Попросите своего добровольного ассистента держать карандаш покрепче и натяните концы шнурка. Сосчитав вслух до трех, резко дерните концы шнурка в стороны. Неожиданный результат показан на рис. 120, и: шнурок, который только что был обмотан вокруг карандаша и соломинки, таинственным образом проходит сквозь карандаш, перерезает соломинку ("слишком слаба, не выдерживает всепроникающей силы шнурка",- поясните вы) и оказывается в ваших руках!

Если вы внимательно проследите за манипуляциями фокусника, то постигнете суть происшедшего чуда. Шнурок навит на карандаш по двум противоположно закрученным винтовым линиям. Поэтому замкнутая кривая, которую образуют шнурок и фокусник, не сцеплена с замкнутой кривой, образуемой карандашом и держащим его зрителем. Шнурок перерезает соломинку, которая не дает раскрутиться спиралям, после чего спирали уничтожают друг друга (происходит нечто вроде аннигиляции частицы и античастицы).

Многие традиционные головоломки также имеют топологическую природу. Более того, топология берет начало в классической работе Леонарда Эйлера (1736), в которой великий математик подробно проанализировал головоломку о семи кенигсбергских мостах (их все нужно обойти, не побывав ни на одном дважды). Эйлер показал, что задача о мостах сводится к другой эквивалентной ей задаче о вычерчивании единым росчерком пера некоторой замкнутой кривой (предполагается, что след, оставляемый пером на бумаге, представляет собой непрерывную линию и ни один из участков замкнутой кривой не проходится дважды). Задачи такого рода часто встречаются в литературе по занимательной математике. Приступая к их решению, прежде всего необходимо отметить, в скольких узлах (узлами называются концы дуг, образующих кривую) сходится четное число линий и в скольких - нечетное. (Число "нечетных" узлов всегда четно; см. задачу 8 в главе 20.) Если все узлы "четны", то кривую можно начертить единым росчерком пера, начав и закончив обводить ее с любой точки. Если два узла нечетны, то кривую все же можно вычертить, но для этого нужно начать обводить ее с одного нечетного узла и закончить на другом нечетном узле. Если такая задача (с двумя нечетными узлами) имеет хоть какое-нибудь решение, то соответствующую кривую можно обойти по маршруту без самопересечений. Задача вообще не имеет решения, когда число нечетных узлов больше двух: нечетные узлы, очевидно, должны быть начальными и конечными точками пути, проходящего по всем звеньям кривой, а у любой непрерывной линии либо имеются две конечные точки, либо нет ни одной.

Рис. 121. Как обойти все линии, совершив минимальное число поворотов?

Помня эти эйлеровы правила, вы сумеете без труда решать головоломки, связанные с вычерчиванием кривых и обходом хитроумных маршрутов. Однако такие задачи, если осложнить их одним или двумя дополнительными условиями, нередко превращаются в труднейшие проблемы. Рассмотрим, например, сеть, изображенную на рис. 121. Все ее узлы четны. Как мы уже знаем, такую сеть можно начертить, не отрывая пера от бумаги и не проходя ни по одному ее участку дважды. Усложним теперь задачу: разрешим проходить любой участок сети неограниченное число раз, а начинать и заканчивать обход сети в любых двух ее точках. Спрашивается, чему равно наименьшее число поворотов, которое необходимо совершить, чтобы побывать на всех без исключения участках сети? Маршрут предполагается непрерывным, без прыжков; остановка и возвращение назад по одной и той же прямой считается поворотом.

В основе механических головоломок с веревочками и колечками нередко лежит топологическая теория узлов. Одна из лучших головоломок этого типа изображена на рис. 122. Ее нетрудно сделать самому из куска плотного картона, веревочки и колечка таких размеров, чтобы оно не проходило через центральное отверстие. Чем больше кусок картона и чем тяжелее веревочка, тем легче производить соответствующие манипуляции. Задача заключается в том, чтобы переместить кольцо из петли А в петлю 5, не разрезая веревочки и не отвязывая ее концов.

Рис. 122. Можно ли, не развязывая веревки, передвинуть кольцо в петлю В?

Эту головоломку можно найти во многих старых сборниках занимательных задач, но обычно ее формулируют в крайне упрощенной форме: концы веревочки не привязывают, как это сделано у нас, к краям картона, а, пропустив через маленькие дырочки, прикрепляют к пуговицам, не позволяющим веревочке выскользнуть. В этом варианте задача имеет весьма неизящное решение: петлю X по очереди продевают в дырочки у краев картона и накидывают на пуговицы. Существует более хитроумное решение, в котором концы веревочки вообще никак не используются. Интересно заметить, что если один конец веревочки проходит под петлей X, а другой - над X (так, как показано на рис. 122, вверху), то задача не имеет решения.

Среди многих математических игр, имеющих любопытные топологические особенности, нельзя не назвать восточную игру го и широко распространенную детскую игру в точки и квадраты. В последнюю игру играют так. На листке клетчатой бумаги точками отмечают вершины всех клеточек, образующих какой-нибудь прямоугольник. Играющие по очереди соединяют отрезками прямых любые две соседние точки. Если получающаяся ломаная во время очередного хода замыкается, образуя квадрат, то играющий ставит внутри него свою метку и ходит снова. После того как все линии проведены, победителем объявляется тот, кто сумел построить наибольшее число квадратов. Если игроки достаточно искусны, то игра в точки и квадраты при всей своей простоте может быть увлекательной, ибо, жертвуя квадратами в гамбите, игроки получают возможность с лихвой вознаградить себя построением большего числа квадратов в эндшпиле.

Хотя игра в точки и квадраты распространена ничуть не меньше, чем игра в крестики и нолики, подробный математический анализ ее до сих пор не был опубликован. Даже в том случае, когда "оперативным простором" служит квадрат размером 4X4 (из шестнадцати точек), игра отличается необычайной сложностью. Это - наименьшее поле, на котором игра не может закончиться вничью, поскольку игрокам необходимо построить девять (нечетное число) квадратов. Существует ли выигрышная стратегия для первого или второго игрока, насколько мне известно, пока еще не установлено.

Рис. 123. Топологическая игра Гейла

Замечательную игру, в которой также приходится соединять точки линиями, придумал профессор Д. Гейл. Я беру на себя смелость назвать ее игрой Гейла. На первый взгляд кажется, что игра Гейла очень похожа на упоминавшуюся в нашей книге топологическую игру в гекс. В действительности же игра Гейла (рис. 123) имеет совершенно иную природу. На прямоугольном поле изображены узлы двух квадратных решеток, вдвинутых друг в друга: узлы одной решетки черные, а узлы второй - любого другого цвета (на рис. 123 последние показаны белыми кружками, а соединяющие их линии пунктиром). Игрок А наносит ломаную черным карандашом. За один ход он соединяет отрезком прямой две соседние черные точки по вертикали или по горизонтали. Его цель - соединить непрерывной ломаной левый и правый края поля. Игрок В наносит свою ломаную цветным карандашом. Его задача заключается в том, чтобы соединить верхний и нижний края поля. Линии противников не должны пересекаться. За один ход каждый игрок может соединить лишь две соседние точки. Победителем считается тот, кто первым соединит непрерывной линией свои края поля. На рис. 123 показан случай, когда победителем стал игрок с цветным карандашом.

В игру Гейла можно играть на поле любых размеров, хотя на маленьких полях (меньших, чем поле на рис. 123) ситуация слишком легко поддается анализу, чтобы игра представляла интерес для кого-нибудь, кроме новичков. Можно доказать, что при любых размерах поля всегда существует стратегия, обеспечивающая верный выигрыш первому игроку. Доказательство проводится так же, как и доказательство существования выигрышной стратегии для первого игрока при игре в гекс. К сожалению, ни одно из доказательств не дает ни малейшего намека на то, как найти оптимальную стратегию.

В 1960 году в продаже появилась доска для игры Гейла изображенная на рис. 123; называлась она "Bridgeit"^*. Точки на доске были выпуклыми и соединялись с помощью маленьких пластмассовых мостиков, длина которых позволяла соединять лишь две соседние точки. Благодаря этому в игру можно вносить интересные изменения, подробное объяснение которых давалось в прилагаемой инструкции. Каждый игрок ограничен определенным числом мостиков, например 10 мостиками. Если после того, как "построены" все 20 мостиков, ни одному из игроков не удалось добиться победы, игру продолжают, сдвигая при каждом ходе по одному мостику в новое положение.

^* (Название игры можно перевести как "Построй мостик". В оригинале звучит как женское имя Бриджит.- Прим. ред.)

В 1951 году, за семь лет до того, как игра Гейла была описана мной в Scientific American, профессор Клод Э. Шеннон построил первого робота, который с успехом играл в игру Гейла (сам Шеннон называл ее "Птичья клетка"). Робот играл превосходно, хотя и не совершенно. Основным элементом робота было несложное аналоговое вычислительное устройство на сопротивлениях. В 1958 году два инженера из Иллинойсского технологического института У. А. Дэвидсон и В. Ч. Лэфферти спроектировали другого робота, также игравшего в игру Гейла. Не зная ничего о машине Шеннона, они положили в основу своего проекта тот же принцип, что и Шеннон.

Рис. 124. Электрическая схема робота, умеющего играть в топологическую игру Гейла

Принцип этот заключается в следующем. Цепь сопротивлений соответствует линиям, которые может провести во время игры один из игроков, например А (рис. 124). Все сопротивления одинаковы. Когда А во время очередного хода проводит отрезок прямой, соответствующее этому отрезку сопротивление замыкается. Когда игрок В в свою очередь проводит отрезок прямой, он пересекает одну из "линий" А и соответствующий этой линии участок электрической цепи размыкается. Таким образом, если выигрывает А, то замыкается вся цепь (то есть ее сопротивление падает до нуля), а если выигрывает В, то ток в цепи полностью прекращается (сопротивление становится бесконечным). Машина либо замыкает, либо размыкает то сопротивление, на котором происходит наибольшее падение напряжения. Если же таких сопротивлений оказывается два или больше, то выбор одного из них производится случайным образом. В действительности Шеннон построил в свое время две машины для игры в "Птичью клетку". В его первой модели роль сопротивлений играли маленькие лампочки, и та лампочка, которая светилась ярче других, показывала, куда нужно делать очередной ход. Поскольку решить, какая из ламп светится ярче, во многих случаях было довольно затруднительно, Шеннон построил вторую модель, в которой лампочки накаливания были заменены неоновыми лампами, а цепь была рассчитана так, что светиться могла только одна лампа (остальные лампы в это время были заперты). Делая ход, игроки поворачивали выключатели, которые в начале игры находились в нейтральном положении. Один из игроков поворачивал выключатели в положение "включено", другой - в положение "выключено".

Робот Шеннона, делая первый ход, почти всегда выигрывает. Из нескольких сот сыгранных партий, в которых машине принадлежал первый ход, она проиграла лишь две. Оба проигрыша были обусловлены неполадками в вычислительном устройстве и нарушениями правил игры со стороны человека-игрока. Если же первый ход принадлежал человеку, то ему не составляло труда обыграть машину, но стоило лишь игроку совершить хоть сколько-нибудь значительную ошибку, как машина тут же выигрывала.

Задачу с вычерчиванием сети можно решить с 13 поворотами. Начать нужно со второго узла слева в основании большого треугольника. Двигаясь вверх и вправо, дойдем до его боковой стороны, после чего повернем налево, а дойдя до другой стороны, двинемся вправо и вниз к основанию треугольника. Достигнув основания, снова повернем вверх и вправо, а дойдя до боковой стороны треугольника, повернем налево и будем двигаться до тех пор, пока не достигнем другой боковой стороны. Отсюда, повернув направо и вниз, спустимся на основание треугольника, после чего, повернув направо, пройдем основание до правой нижней вершины, откуда по кругу опишем периметр большого треугольника и остановимся в третьем слева узле на его основании. Из этого узла повернем вверх и налево (до узла, расположенного посредине левой боковой стороны большого треугольника), затем, повернув направо, двинемся по горизонтали к среднему узлу на правой боковой стороне, а дойдя до него и повернув влево и вниз, спустимся на основание треугольника.

Головоломка с колечком и веревочкой решается так. Растянем центральную петлю настолько, чтобы через нее можно было протащить кольцо. Продев кольцо через центральную петлю, прижмем его к лицевой "стороне картона, а сами, ухватив выходящую из центрального отверстия двойную веревочку, потянем ее на себя. Из отверстия покажется двойная петля. Проденем в нее кольцо и, потянув с обратной стороны за веревочку, снова упрячем двойную петлю за картон (веревочка при этом снова займет исходное положение). После этого нам останется лишь продеть кольцо в центральную петлю, и головоломка решена!