Предисловие

которое автор советует прочесть особенно внимательно

Светлой памяти Андрея Андреевича Маркова, создателя теории алгорифмов

Современное школьное математическое образование ориентировано главным образом на воспитание у учащихся функционального мышления, на умение обращаться с непрерывными математическими объектами. Намечающиеся изменения в школьных про- граммах по математике идут в том же направлении. Вместе с тем в последнее время стали интенсивно разрабатываться новые области применения математики: составление программ для вычислительных машин, некоторые аспекты кибернетики и исследования операций, математическая экономика, математическая лингвистика и т. д. Освоение этих областей науки наряду с совершенствованием классического аппарата требует развития комбинаторной техники, анализа дискретного и создания новых плодотворных абстракций. Перечисленные стороны математики должны освещаться и в научно-популярной литературе.

С опушки леса в чащу ведет множество тропинок. Они извилисты, они сходятся, расходятся вновь и пересекаются одна с другой. На прогулке можно только заметить обилие этих тропинок, походить по некоторым из них и проследить их направление в глубь леса. Для серьезного изучения леса нужно идти по тропинкам, пока они вообще различимы среди сухой хвои и кустарников черники. Для того чтобы использовать дары леса, приходится вовсе покидать хоженые тропинки и продираться сквозь сплетения колю- чих сучьев.

Настоящую брошюру можно рассматривать как описание одной из возможных прогулок по опушке современной математики. Изложение основных фактов, относящихся к признакам делимости, является в ней поводом затронуть некоторые довольно абстрактные вопросы дискретной математики. К числу таких вопросов относятся, прежде всего, утверждения элементарной теории чисел, группирующиеся вокруг основной теоремы арифметики и анализа канонического разложения натурального числа на простые множители. Далее, сама делимость чисел рассматривается как отношение на множестве целых чисел, т. е. как реализация довольно общего и абстрактного понятия. Наконец, признаки делимости трактуются здесь как алгорифмы, перерабатывающие каждое число в ответ, делится ли оно на данное число или не делится. Автор счел целесообразным среди признаков делимости особо выделить "признаки равноостаточности", перерабатывающие числа в остатки при их делении на данное число.

Для того чтобы оттенить разнообразные взаимо-связи между отдельными математическими фактами и возможности различных подходов к одному и тому же предмету, некоторые утверждения устанавливаются двумя различными путями.

Книжка рассчитана на школьников старших классов, интересующихся математикой и (если не считать нескольких упоминаний о формуле бинома) не пред-полагает никаких предварительных знаний, кроме умения производить несложные тождественные преобразования. Однако логическая структура материала довольно сложна, так что усвоение его во всех деталях может потребовать немало внимания и терпения.

Читателю можно порекомендовать следующий план изучения книжки.

При первом чтении можно ограничиться лишь основным текстом §§ 1-4 и не решать задач (за исключением задач №№ 31, 34, 36, 45, 47,49, 50). Это даст общее, описательное знакомство с предметом. Так как большинство неискушенных в математике людей убеждены в изначальной справедливости теоремы об однозначном разложении натурального числа на простые множители (считая, по-видимому, ее своего рода аксиомой), они могут понимать теоремы 9-13 как ее следствия.

При втором чтении нужно попытаться самостоятельно доказать все теоремы в том порядке, в каком они приведены. Чтобы читатель не поддавался слишком часто соблазну пользоваться готовыми доказательствами теорем, все эти доказательства отнесены в особый раздел. Исключение составляет доказательство теоремы 7, которое призвано служить камертоном, настраивающим читателя уже при первом чтении на должный уровень строгости.

При втором же чтении следует изучить § 5, а также решать задачи основного текста.

Наконец, при третьем чтении изучается мелкий шрифт и относящиеся к нему задачи.

Читателю, желающему углубить свои познания в области теории чисел, следует обратиться к классическому курсу акад. И. М. Виноградова "Основы теории чисел" ("Наука", 1972).

Изучение абстрактной теории отношений на множестве и дальнейших связанных с этим вопросов можно рекомендовать по книге А. Г. Куроша "Лекции по общей алгебре" ("Наука", 1973) или Г. Биркгофа "Теория структур" (ИЛ, 1951).

Наконец, более подробное и систематическое разъяснение понятия алгорифма содержится в брошюре Б. А. Трахтенброта "Алгоритмы и машинное решение задач" (Физматгиз, 1960), а строгое изложение теории алгорифмов можно найти в основополагающей монографии А. А. Маркова "Теория алгорифмов" (Труды матем. ин-та АН СССР им. Стеклова, т. 42, 1954).

Второе издание отличается от первого лишь отдельными редакционными улучшениями. За некоторые из них автор благодарен проф. Греллю (ГДР),

И. Н. Воробьев