Вариации

Геометрия и сейчас обладает 
всеми теми достоинствами, 
за которые ее ценили педагоги 
прошлых поколений. На свете 
есть еще геометрия, которая ждет, 
чтобы ее познали и оценили... 
Так давайте же вновь перелистаем 
Евклида, познакомимся с некоторыми 
новыми результатами. Быть может, 
мы вновь сумеем испытать тот же 
восторг и трепет, как и при 
первых встречах с геометрией.

Гарольд Коксетер Самуэль Грейтцет

Вариации

Книга задумана, написана, сдана в издательство, отредактирована, проиллюстрирована, набрана, отпечатана, появилась в магазинах, распродана, и только тут наступает новый момент в жизни ее автора. С мучительной очевидностью предстает перед ним незавершенность его труда. Запоздалые сожаления терзают его душу: как много интересного, забавного, а порой и попросту важного и нужного осталось за бортом. Нет, не сумел он проявить изобретательности, настойчивости и остроумия, чтобы естественным образом вплести все эти маленькие прелестные вещицы в ткань повествования, и тем лишил своего читателя радости лишний раз улыбнуться или задуматься.

Когда книга переиздается, судьба дает автору редчайший шанс исправить прошлые ошибки. И если он им не воспользуется, то после винить уже будет некого.

Но включенные во второе издание этой книги "Вариации" лишь частично возникли как стремление досказать недосказанное. По большей части они навеяны событиями, происшедшими уже после того, как "Геометрическая рапсодия" перекочевала с прилавка книжного магазина на читательскую полку. Таким образом, хотя в них звучат, разумеется, все те же геометрические темы, но они дополнены новыми, современными мотивами.

Поля многих страниц книги, отданных "Вариациям", намеренно сделаны большими: на них автором (и читателем, если он того пожелает) проецируются те зрительные образы, что способны служить достойным аккомпанементом основной мелодии.

Вариации

Беда с восприятием музыки 
состоит в том, что людей 
учат относиться к ней с 
уважением, в то время как 
надо учить их любить ее.

Игорь Стравинский

Вариация первая

Лучше один раз увидеть, 
чем сто раз услышать.

Пословица

Вариация первая

Нет никакой случайности в том, что одна из лучших в мире книг, посвященных древнейшей из математических наук, названа именно так: "Наглядная геометрия". И Давид Гильберт, и Стефан Кон-Фоссен, ее авторы, да и любой другой, кто хоть раз задумался о том, чем же геометрия отличается от своих математических сестер, не могли не заметить главного: ее прозрачности, ясности, в известном смысле кинематографичности. Поэтому во исполнение данного в "Увертюре" обещания читателю предлагается сценарий небольшого мультипликационного фильма. Крохотные "значки" гравюр на полях едва ли позволят даже при самом развитом воображении увидеть взаимопереходы работ Эсхера, их связь и единство, основанные на единстве геометрии нашего мира, в чем, собственно, и состоит замысел сценария. Но ничто не мешает читателю обратиться к разбросанным по разным страницам книги иллюстрирующим ее гравюрам М. К. Эсхера, воспользовавшись для этой цели все тем же "Указателем", так он сможет увидеть некоторые из "значков" в увеличенном виде и сумеет их внимательно рассмотреть во всех деталях.

Пролог

Одно за другим переплывами идут изображения предметов, в которых запечатлена гармония нашего мира, геометрия, лежащая в его основе,- кристаллы, отражения в воде, капли росы, снежинки, раковины и пр.

Вариация первая

Все, чем богат мир, доступно нашему глазу,- слышен голос героя фильма.- А все, что видит глаз, рука наша умеет сохранить на века. но вот вопрос: а умеем ли мы видеть всю красоту и мудрость мира?

Затемнение.

Вариация первая

Чередой проходят перед нами фигуры, претерпевающие всевозможные геометрические превращения: от плоского к объемному, от нарисованного к "живому". Фигуры эти складываются в мозаику, заполняют собой пространство^*. И вот бегут по экрану буквы...

^* (Здесь читателю книги, чтобы стать "зрителем" фильма, надо найти гравюру "Метаморфозы. II".)

Вариация первая

Из-за края экрана появляется лупа в старинной оправе с деревянной ручкой. Рука, держащая лупу, доводит ее до центра экрана, и над увеличительным стеклом склоняется лицо человека, правда нам виден лишь его глаз.

Этот глаз, напряженно всматривающийся в буквы на экране, и рука, крепко держащая лупу, несколько мгновений занимают собою все внимание зрителя. И лишь затем сквозь линзу проступают титры фильма:

Букет из сада геометрии Мультипликационный познавательный фильм

Титры кончаются, и мы видим ту же руку, которая откладывает в сторону лупу и берет зеркальную сферу.

Вариация первая

Одновременно рука эта и человек, которому она принадлежит, отражаются в зеркале шара. Человек сидит перед столом в кресле и, вертя шар, говорит - энергично, напористо, продолжая прерванный на полуслове разговор. Во время его монолога мы видим, как отражаются во вращающемся шаре стены комнаты, мебель, окна. Но глаза говорящего - таково свойство зеркальной сферы - все время остаются в центре кадра, словно гипнотизируя нас. И рука его, непомерно большая из-за искаженной перпективы, тоже не выходит из фокуса внимания зрителя.

Вариация первая

...Боюсь, что нет. Мир сияет вокруг нас тысячами красок, он готов раскрыть нам тысячи тайн. А мы - слепы. Мы видим лишь малую долю этих сокровищ. Да и чему удивляться, ведь это только говорят: венец творения, венец творения... А давно ли мы перестали бегать на четвереньках?!

Все так же вертится шар, но его зеркальная поверхность тускнеет. Проступают земные материки, синеют океаны. И вся Земля, словно увиденная из космоса, кажется голубым шаром.

Все ближе Земля, и вот уже перед нами одни лишь волны.

Мерцает вода древнего моря. Одиноко стоит на острове голая скала. Лишь удары волн да завывания ветра - жизнь еще не начиналась на этой планете.

Вариация первая

Медленно подымаются к поверхности моря огромные рыбы. Пучеглазая голова одной из них высовывается из воды. Опершись на плавники, рыба с удивлением рассматривает скалу и весь остров. Мы видим все это как бы ее глазами.

Гремят грозы, ливни низвергаются на море и сушу. Сотни миллионов лет прессуются в доли секунды - на Земле идет эволюция.

Перед камерой медленно проходит эволюция жизни на Земле. Темные рыбы на фоне светлого моря превращаются в светлых, плывущих в черных глубинах океана, те, незаметно меняя свою форму, преобразуются в темных амфибий, которые также неумолимо переходят в светлых лягушек. Наконец, на жизненной сцене появляются огромные черные птицы, которые уступают место белым голубям. Еще небольшой поворот, и вновь рыбы плывут по морю^*.

^* (Гравюра "Вербум". См. "Указатель".)

Вариация первая

Вот они выползают на берег острова. Плавники их становятся лапами, головы вытягиваются. Крокодилообразный зверь смотрит на ту же скалу. Он видит ее нерезкой, искаженной - что-то между "рыбьим" видением и нормальной перспективой.

Множатся земные твари. Скачет огромный кузнечик. Он видит скалу вытянутой, как в "комнате смеха". Проползает гигантский муравей, и когда нам приходится взглянуть на тот же пейзаж его глазами, мы видим еще одно искажение.

Вариация первая

Лезут и лезут рыбы на берег острова. Прямо на глазах их плавники превращаются в перепончатые лапы неведомых зверей и, постепенно меняясь, становятся руками нашего общего предка.

Прикрыв глаза рукою от солнца, смотрит на скалу человекообразное существо. Сначала оно не умеет "установить фокус", и знакомая нам картина выглядит нерезкой. Но вот лицо стало собранным, совсем человеческим, и волосатая рука, загораживающая глаза от яркого света, тоже становится обычной рукой. На берегу моря стоит тот самый человек (им может быть и живой актер), чье отражение в зеркальном шаре мы видели в предыдущих кадрах, его глазами мы видим все тот же пейзаж.

Вариация первая

Переплывами меняются горные пейзажи. По крутым тропинкам поднимается наш герой и ведет свою беседу столько же с нами, как и с самим собой. Мы видим, как много дано человеческому глазу, как открывается ему красота мира, и тем неожиданнее звучат слова героя фильма:

Если смотреть в масштабе вечности, мы только что вылупились из яйца,- продолжает он свой страстный монолог,- и еще не научились как следует видеть. а уж изобразить увиденное - тем более.

Наш герой появляется на узкой улочке старого города. Доходит до веревки с бельем, перегораживающей улицу, останавливается. А я - строитель, архитектор, зодчий - назовите как хотите, но только научите, как мне нарисовать на бумаге то, что я хочу построить! как, я вас спрашиваю? как мне изобразить объемный трехмерный дом на плоском листе? ну вот, пожалуйста, научите... - говорит он, поднимая с земли кусочек угля и быстро нанося им на развешанной простыне четкие линии, изображающие окружающие его дома.

Вариация первая

Я старался, видите - старался изо всех сил сделать эти дома выпуклыми, настоящими. А что вышло?! Как тут строить, когда не видишь ни линии стен, ни пола, ни потолка?- Почти кричит Зодчий и в гневе ударяет по простыне кулаком с задней стороны, чтобы сделать свой чертеж выпуклым. В центре его выпячивается балкон одного из домов. Зодчий, обрадованный, отступает, проводя перед чертежом рукой, словно призывая его сохраниться навеки. И тотчас штрихи эскиза превращаются в законченные линии гравюры. Полощется на ветру простыня с изображенной на ней городской улочкой. И мы вместе с Зодчим видим, что она вновь стала плоской, безо всякого следа выпуклости на месте балкона.

Вариация первая

Вот оно, проклятье моей жизни!- восклицает зодчий.- Я должен уметь увидеть на рисунке то, чего там и быть не может: мне надо узнать объемное на плоскости, но ведь мой глаз к этому еще не успел привыкнуть. почувствовать ширь и глубину - и как? - с помощью каких-то цветных пятен, нанесенных на холст! А что еще представляет собой любая картина?

Вариация первая

Безнадежно понурив голову, бредет Зодчий по городским улочкам. И все, на что он ни взглянет, стремительно приближается и становится, как бы нарисованным на поверхности стекла - реальная сочная и объемная жизнь превращается в соединение цветных пятен различной яркости, что, в сущности, и представляет собой любая картина.

Вариация первая

Зодчий бросает взгляд на двух жуков, катящих шарик, и они сразу же уплощаются на том мысленном холсте, что живет в воображении Зодчего. Но вот он берет жука в руку, ощупывает его пальцами, и на наших глазах скарабей становится объемным. Так же точно рука рассказывает глазу Зодчего о форме стрекозы, которую тот ловит, и цветка, который он срывает. Предметы раскрывают Зодчему свои размеры и формы: пальцы руки, обегая края их, учат глаз видеть мир.

И, словно приветствуя прозревший глаз, наплывают один на другой четкие, рельефные пейзажи. Их чистая, прозрачная красота служит резким контрастом сумрачному лицу Зодчего, который идет навстречу нам по горной дороге.

Вариация первая

А я вам все-таки докажу, что глаз наш ничего не видит!- в запальчивости, с фанатическим упорством твердит он.- Вот тут я кое-что построил, собрал кое-какие вещички. Милости прошу, заходите, будьте как дома!

Перед нами два марша лестницы, уходящей вниз. По ним быстро спускается Зодчий. Мы оказываемся в подземелье, где бесчисленные колонны держат полукруглые своды. Стремительно уходит вглубь их Зодчий, камера мчится вслед за ним среди расступающихся колонн. Направо, налево, вновь направо - кажется, колонны кругом. И вдруг - узкий, зеленый коридор, который перегораживают две оригинального вида конструкции. Зодчий раздвигает их, и мы видим, что нижний конец правой колонны и верхний конец левой - это плоская лента, которая лишь притворялась "объемной". На ленте надпись: "В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу. Давид Гильберт".

Вариация первая

Зодчий распахивает дверь, которую скрывали колонны, и в лицо нам ударяет солнечный свет. Вдали - замок, черепичная крыша, башенка, квадратный дворик. По окаймляющей его сверху лестнице идут какие-то люди. Камера приближает к нам эту лестницу, построенную по принципу так называемой "фигуры Пенроузов", и то невероятное, что на ней происходит, становится для нас реальностью. Идут и идут люди по ступеням лестницы - все вверх и вверх, без конца. И по тем же ступеням непрерывной чередой движутся вниз другие, и тоже без конца, по замкнутому кругу^*.

^* (Гравюра "Поднимаясь и опускаясь".)

Вариация первая

Я говорил!- торжествует Зодчий.- вот он, ваш превосходный глаз, он видит то, во что ваш же мозг отказывается верить! Еще хотите? Прошу!- И он театральным жестом протягивает руку в другую сторону.

Вариация первая

Камера наезжает на мельницу, но мельницу в высшей степени удивительную. Нескончаемым потоком падает на колесо вода, которая тут же сама поднимается вверх, чтобы вновь вращать мельничные жернова. (Это еще одна модификация той же удивительной фигуры, которая использована в гравюре "Водопад".) Вечный двигатель, химера изобретателей, работает перед нами со всей убедительностью действующей модели. Камера дает нам полюбоваться этой неправдоподобной действительностью со всех сторон, а Зодчий между тем увлекает нас дальше.

Вариация первая

А вот самое удивительное!- кричит он, пробегая по дорожке сада между мельницей и замком. Миг, и мы видим его сбегающим с горы к воздушному сооружению, бельведеру, напоминающему беседку. Вначале мы не находим в ней ровным счетом ничего необычного - просто изящное архитектурное сооружение.

Вариация первая

Ну неужели не видите?- глумится над нами Зодчий.- Что же это вы? Где же ваш зоркий глаз? Беседка-то с секретом!

И по мановению руки Зодчего все, что внутри бельведера, окрашивается в сине-зеленый цвет. Беседка похожа теперь на аквариум причудливой формы, а ее обитатели - на диковинных жителей воды. И тут мы замечаем, с помощью укрупнения, что три пары колонн окрашены странным образом: до половины в один, "внешний" розовый цвет, а дальше - в другой, "внутренний" сине-зеленый. Получается, что необъяснимым образом колонны до половины - внутри, а до половины - вне бельведера!

Вариация первая

Повинуясь молчаливому приказу Зодчего, человек, стоящий внизу приставной лестницы, окрашенный, как и положено "внутреннему" жителю, в сине-зеленый цвет, начинает подниматься. И вот он на наших глазах перекрашивается. Когда же человек этот оказывается рядом с шутом на середине лестницы, он уже весь розоватый. Но вот они вдвоем поднимаются выше и становятся "внутренними" - сине-зелеными.

Вариация первая

Мы живем в трехмерном мире, и он диктует нам свои законы,- продолжает Зодчий.- Ничто в этом мире не может быть одновременно спереди и сзади - это знает каждый. А я вот построил именно такую штуку - нечто, живущее в нашем мире, но не подвластное его законам!

Вариация первая

Зодчий набрасывает на стене проект бельведера, так называемый "кубоид", и отчетливо прорисовывает этот "вывернутый" куб в руках у человека, сидящего на скамейке рядом с бельведером^*.

^* (Эта фигура уже использовалась в этой книге. См. рис. 8 на с. 32.)

Вариация первая

Я вывернул ребра обычного куба, и вот вам модель моей беседки. Ни один самый искусный строитель не сможет построить ее в нашем трехмерном мире, и все-таки вы видите ее! Это чудо дарит нам наш глаз именно потому, что он плохо чувствует на картине объем и его легко здесь обмануть. Он знает о пространстве лишь то, что расскажет рука. Это она говорит ему: "то - ближе, это - дальше, там - выпукло, тут - вогнуто". Без руки глаз никогда не узнал бы о том, что есть пространство, объем, он видел бы наш мир плоским, раздавленным...

Вариация первая

Зодчий рисует в раздумчивости на полу человечков с большими руками. Вот они образовали плоскую мозаику, вот начинают "высовываться" из плоскости.

Вариация первая

Вырваться из плоскости - постоянная мечта художника,- говорит Зодчий, и в тоне его уже нет прежней горячности: он рассуждает и сожалеет, а не спорит и убеждает.

Вариация первая

Черные пессимисты и белые оптимисты стали совсем "полнокровными". Идут друг другу навстречу, пожимают руки, замирают так на мгновение - живые, объемные, сумевшие выскочить из плоскости. И, как мираж, начинают таять, отступая при этом назад, в стену, становясь плоской мозаикой. Все новое, необычное, о чем рука еще не успела рассказать глазу, мы видим сначала плоским,- слышим мы голос Зодчего,- это... это как поверхность пруда,- продолжает он, подбирая точные сравнения. Камера отъезжает, и мы сначала видим Зодчего на берегу пруда, а затем - одно лишь зеркало воды.

Вариация первая

И рыба в глубине, и верхушки деревьев в высоте - все, как и листья, одинаково покоятся на его ровном зеркале,- заканчивает свое сравнение Зодчий. Камера наезжает на пруд. Мелькают очертания рыб, они переходят в силуэты птиц. Птицы летят, и, следя за самой верхней из них, мы оказываемся в дворике средневекового города^*.

^* (Гравюра "Вверху и внизу".- Прим. режиссера.)

Вариация первая

Смотрите!- восклицает Зодчий.- Даже верх и низ в нашем мире порой различить нелегко. Геометрия его непроста. Я, Зодчий, ежечасно творю ее из камня, дерева и своего воображения. И уж кому, как не мне, знать это...

Камера сдвигается вниз, и мы видим внизу точно такой же дворик, для которого то место, где стоит Зодчий, служит крышей... мы видим только то, что

Вариация первая

Знаем. Остальное домысливаем, угадываем, пытаемся сравнить с чем-нибудь похожим... В кадре - один и тот же пейзаж: город, река, мельница, но зеркально отраженные, и вдобавок одно изображение - позитив, другое - негатив. Когда глаз свыкается с двумя городами и квадратами полей между ними, эти квадраты, деформируясь, переходят в летящих в разные стороны птиц^*.

^* (Гравюра "День и ночь", занимающая весь экран.- Прим. оператора.)

Что это - белые птицы на темном фоне или черные - на светлом?- говорит Зодчий, и сам тон его речи изменился, стал лиричным.- Знать этого нельзя, но можно вообразить и птиц, и оба города, и весь мир. И когда я понимаю это, я думаю: пусть глаз наш несовершенен, пусть рука немощна, но зато нам дано нечто большее - дар фантазии.

Вариация первая

Круто "пикирует" камера на один из городов. Мы видим Зодчего на ступеньках какой-то лестницы, ведущей вверх^*. Он поворачивает к нам лицо и говорит, впервые улыбаясь:

^* (Я всегда улыбаюсь, когда рассматриваю гравюру "Относительность".- Прим. сценариста.)

Вот потому мы и всемогущи! "Воображение важнее знания",- говорил Эйнштейн. И он прав, тысячу раз прав,- продолжает Зодчий.- Я, песчинка в мироздании, могу строить миры, в которые не ступала нога человека. Их, может, и нет вовсе, а мои руки, мои глаза создали их - вот здесь, в моем саду!

Вариация первая

Камера отъезжает, чтобы показать нам, как Зодчий "входит" в удивительную конструкцию, состоящую из трех лестниц, расположенных под прямым углом друг к другу - как координатные оси на любом пространственном чертеже. Три несовместимых мира, в каждом сила тяжести направлена в иную сторону, соединились в этой конструкции. Зодчий преодолевает марш лестницы, а в это время из стены мимо него выходит и движется вверх к потолку Человек-с-мешком-на-спине.

Вариация первая

В этом странном мире, который я сам придумал, действуют сразу три силы тяжести. И потому люди в нем могут идти по одной лестнице, по одним и тем же ступеням, но даже не подозревать о существовании друг друга. Ведь, что для одних пол, для других - потолок, а для третьих - стена,- продолжает Зодчий рассказывать нам о своем геометрическом саде.

Вариация первая

Камера укрупняет двух человек в верхней части гравюры, которые проходят друг мимо друга, но так, что пол для одного служит стеной для другого.

Новая вселенная, родившаяся в моем воображении, живет перед вами - зримая, реальная не меньше, чем вы или я,- продолжает Зодчий и уходит в полукруглую арку.

Вариация первая

И нашу обычную вселенную со всеми ее сложностями я тоже построил здесь, в своем геометрическом саду,- слышим мы голос Зодчего, удаляющегося от нас по дорожке сада. Зодчий доходит до глубокого оврага, почти пропасти, через который переброшены прямоугольные брусья, соединенные между собой такими же балками. Он ступает на этот мост, а камера поднимается в верхнюю точку и постепенно снижается к Зодчему. "Мост" уже успел обрасти брусьями, тянувшимися во все стороны. Вся пропасть заполнена кубическими ячейками, которым нет "числа.

Я часто слышу, что ученые говорят: "наша вселенная безгранична",- слышен голос Зодчего,- и я не спорю, я просто беру карандаш и рисую...

Вариация первая

Брусья изгибаются, и весь экран становится как бы ассоциативной иллюстрацией к теме "Искривленная Вселенная, какой рисует ее теория относительности".

Я слышу: "она искривлена", но и это вообразить мне под силу,- продолжает Зодчий.

Вариация первая

Брусья распрямляются. Мы выбираемся на поверхность из царства безграничности и видим Зодчего, делающего последние шаги по мосту. Вот он уже и на той стороне оврага, направляется к домику с колоннами.

Вот с замкнутостью нашей вселенной, о которой прожужжали мне уши друзья-физики, мне пришлось потруднее,- говорит он.- Но и тут я справился, кое-что нарисовал, что мне лично многое объяснило. Глаз и рука вновь не подвели меня.

Вариация первая

Зодчий приглашает нас в картинную галерею^* - это она разместилась в этом домике. Мы входим в арку и движемся влево по коридору, где вывешаны и разложены на стендах в виде работ художника уже виденные нами кадры фильма и некоторые, представшие перед нами впервые, которые еще только предстоит увидеть зрителю.

^* ("Картинная галерея" - именно так называется гравюра Эсхера.)

Вот мы видим юношу, рассматривающего картину. Вместе с ним мы следим взглядом за изгибом реки, переходящим в набережную, вот дома на ней, один из них выдвинут на первый план - там в окошке женщина, которая смотрит вниз, на колонны, поддерживающие крышу. И вдруг нам становится ясно, что именно между этими колоннами мы прошли в галерею! Выходит, юноша видит на картине и то место, где она висит, и, значит, самого себя на ней!

Вариация первая

Интересный рисуночек, не находите?- комментирует Зодчий наше путешествие по этому замкнутому в самом себе миру.- Посетитель моей галереи сам становится произведением искусства. Смотрите, он видит на картине город и тот дом, где внизу как раз и есть та самая галерея, где он сейчас стоит и любуется моим рисунком! Выходит, он видит на полотне самого себя и сам является частью изображенного - мир моей картины замкнулся! И теперь, когда я слышу, что наша вселенная замкнута, я больше не пугаюсь, а вспоминаю вот эту картину... Картинная галерея очень медленным переплывом переходит в схему, иллюстрирующую идею конструкции этой галереи. Схема сделана в размер гравюры, так что мы видим, как работала мысль художника, какой геометрический заряд удалось вложить ему в свой замысел.

Вариация первая

Так же медленно зарисовка переходит снова в эскиз, а тот - в гравюру.

Вариация первая

Да, немало я потрудился, чтобы представить себе замкнутость...- говорит в это время Зодчий.- Но зато я теперь убедился, что глаз и рука могут создать и объяснить все на свете, даже бесконечность не пугает их...

Вариация первая

Вариация первая

Мы в это время прошли коридор галереи в обратном направлении, скользнув взглядом по развешанным в нем гравюрам, но не вышли из нее, а углубились мимо выхода вправо. Перед нами - новый кадр. Камера наезжает и, все убыстряя свое движение, движется "внутрь" мозаики, состоящей из одних рептилий. Как волны, разбегаются кольца рептилий: они, все уменьшаясь, уводят нас в бесконечность.

Вариация первая

Движение наше столь стремительно, что все сливается в мелькании темных и светлых кругов^*.

^* (Здесь камера движется "внутрь" гравюры. "Все меньше и меньше. 1")

Вариация первая

Вариация первая

Затемнение.

Эпилог

По темному небу, усеянному точками звезд, движется лунная тележка. Проплывают с обеих сторон "космически-геометрические" тела. Плавными переплывами каждая из них переходит последовательно во все более схематичный рисунок, медленно "тая" на экране.

Вариация первая

Как миражи, возникают удивительная мельница и бельведер, которые мы видели в геометрическом саду. Соответствующие эскизы, возникая на мгновение, проясняют нам их "кунштюк".

Но вот перед космической путешественницей возникает препятствие - три круглые колонны какого-то неизвестного сооружения, верх его не помещается на экране. Тележка стремится пройти между двумя из них, но упирается во что-то твердое - в фонограмме скрежет и треск. Откатывается назад, и мы видим верхнюю часть так называемой "Невозможной арки" - самого, быть может, удивительного геометрического монстра. Тележка пытается пробраться между двумя прямоугольными колоннами, но тщетно. Крупно камера показывает телеглаз, анализирующий обстановку. Тележка, ведомая им, поднимается вверх и облетает "невозможную арку". И в этом далеком, сложном мире, где геометрия столь отлична от нашей, глаз сумел найти верное решение.

Вариация первая

Среди звезд, как след от улетающей вдаль тележки, появляется полупрозрачная лента. По переплетению ее колец, изображающих собой головы девушки и юноши, перекатываются зеркальные сферы, подчеркивая глубину космоса.

Вариация первая

Вариация первая

Камера наезжает на глаз юноши.

На месте зрачка появляется всем знакомое лицо Эйнштейна.

Вариация первая

"Радость видеть и понимать - самый прекрасный дар природы" - это его слова.

Медленно исчезает лицо ученого.

Вариация первая

Титр:

"Конец".

Вариация первая

Две последние буквы мерцают, меняются местами.

Надпись:

"Конца познанью нет!"

Вариация первая

Воображение - это великий дар, 
так много содействовавший 
развитию человечества.

Карл Маркс

Вариация вторая

Обладая литературой более обширной, 
чем алгебра и арифметика, вместе 
взятые, и по крайней мере столь же 
обширной, как и анализ, геометрия в 
большей степени, чем любой другой 
раздел математики, является 
богатейшей сокровищницей интереснейших, 
но полузабытых вещей, которыми 
спешащее поколение не имеет 
времени насладиться.

Е. Т. Белл

Вариация вторая

Все три книги, о которых пойдет речь, пока не переведены на русский язык. Почему же они стали предметом нашего внимания? Это читатели поймут, надеюсь, из рассказа о них. Предваряя его, можно лишь сказать, что эти книги тоже о геометрии и красоте мира, описываемой этой наукой. А если более конкретно, то о связи между геометрией и искусством, между геометрией и нашим зрительным восприятием, то есть нашим зрением.

Бруно Эрнст. Волшебное зеркало М. К. Эсхера. Рэндом хауз, Нью-Йорк, 1976, 112с.

Bruno Ernst. THE MAGIC MIRROR OF M. С ESCHER. Random House. New York, 1976, 112 p.

"Книга Б. Эрнста - научная биография одного из наиболее интересных графиков XX века, голландца М. Эсхера. В последние годы творчество этого художника возбудило большой интерес со стороны математиков и физиков. В его графике оказались заложенными глубокие принципы симметрии, которые были известны лишь кристаллографам. Оказалось, что многие работы Эсхера могут быть проанализированы математическими методами. Так в свое время были проанализированы и изданы паркеты Эсхера, обсуждавшиеся на всемирном съезде кристаллографов.

Доктор физико-математических наук, профессор Я. А. Смородинский".

Книга и в самом деле неожиданна и необычна.

Прежде всего, несколько слов об ее авторе. Бруно Эрнст - это псевдоним Ханса де Рийка, преподавателя математики и физики в Амерсфорте, небольшом городке провинции Утрехт. Он родился в 1926 году в Роттердаме и 26 лет своей жизни провел в монастыре, но потом отказался от монашеского сана, женился и самым активным образом занялся физико-математическим образованием подрастающего поколения. Он много лет подряд руководил изданием журналов, родственных нашему "Кванту",- сначала журналом "Пифагор", потом - "Архимед". Его перу принадлежит более сотни книг и статей, посвященных астрономии, фотографии, истории письменности и каллиграфии и даже графологии (хотя, разумеется, он не был специалистом ни в одной из этих областей, но лишь талантливым популяризатором полученных учеными результатов). Он много сделал для создания первой в Голландии общественной астрономической обсерватории, которая теперь превратилась в некое подобие научно-исследовательского института. Ханс де Рийк награжден Серебряной Гвоздикой, высшим отличием, которое ежегодно вручается не более чем трем людям лично принцем Бернардом в знак особых заслуг в развитии культуры страны.

"Неважно, известны ли вам уже изумительные работы М. К. Эсхера или же вы хотите познакомиться с ними впервые - эта книга написана для вас",- гласит надпись на суперобложке. Несмотря на ярко выраженное рекламное звучание, слова эти абсолютно верны. Трудно представить себе читателя, который останется равнодушным, хотя бы просто перелистывая ее страницы, где гравюры соседствуют с геометрическими чертежами, объясняющими их математический смысл или же послужившими источником вдохновения для художника, где стенные росписи, марки и даже банкноты, созданные Эсхером, перемежаются с бесчисленными эскизами и заготовками, благодаря которым становится ясно, каким путем шла его мысль. Ханс де Рийк каждый воскресный день приезжал в Баарн к Маурицу Эсхеру. Они подолгу разговаривали и вместе, не торопясь, работали над книгой, в которой творчество художника было бы не только понято, но и объяснено. Эсхер не дожил до ее выхода в свет, однако успел прочитать рукопись и сделать немало замечаний, которые, естественно, были учтены автором. Таким образом "Волшебное зеркало М. К. Эсхера" весьма авторитетно рассказывает об истинных мотивах творчества художника. К концу своих дней Эсхер общался всего с несколькими людьми, среди них Ханс де Рийк был, пожалуй, самым близким ему по духу. (Еще один парадокс в жизни художника-парадоксалиста: убежденный атеист, Эсхер находил много общего между своей философией и взглядами глубоко верующего бывшего монаха. В то же время де Рийк, проведший большую часть своей сознательной жизни за монастырскими стенами, не раз поражался поистине аскетическому образу жизни художника, который во всем довольствовался самым малым и был совершенно безразличным к богатству, признанию и почестям.) Недаром после смерти Эсхера именно к нему перешли многие вещи покойного, особенно ему дорогие, в том числе старинный шкаф, на двери которого сохранился монтаж фотографий, очевидно, дорогих для Эсхера: его жены, их сыновей, Эйнштейна, Анны Франк - и кристаллов, совершенных творений природы, которые он так любил.

Вообще же, хотя математическое начало, несомненно, весьма сильно в гравюрах Эсхера (именно поэтому художественные критики долго не признавали его), они все-таки изображают не мир формул, а красоту мира.

"Чарльз Сноу отметил поистине странный факт, что искусство XX века так мало усвоило достижения науки XX века. Это наблюдение дало ему еще одно доказательство того, что наша цивилизация распалась на две различных культуры,- пишет в одной из журнальных рецензий на только что вышедший альбом М. К. Эсхера известный коллекционер эсхеровских гравюр Корнелиус Ван Шаак Рузвельт, который в 1973 году передал свою самую полную в мире коллекцию в дар Вашингтонской Национальной галерее искусств, создавшей центр по изучению творчества художников XX века.- Так же, как ранее Леонардо да Винчи, Эсхер своим особым способом пытается уменьшить этот разрыв, и в этом, вероятно, главная причина его популярности не только среди молодых, но также и среди вполне уже зрелых ученых и инженеров. И когда критик с раздражением заявляет, что он ни во что не ставит Эсхера, ему можно напомнить подпись под одной забавной карикатурой: "Они все идут туда! Надо бы и мне поторопиться, поскольку я их лидер".

"Книга Б. Эрнста об известном голландском графике М. К. Эсхере представляет большой интерес не только для математиков и физиков, но и для широкого читателя. Автор книги, будучи сам математиком, очень ясно и убедительно комментирует и разъясняет для неспециалистов иногда довольно сложный смысл и задачи той или иной гравюры Эсхера. Творчество этого художника действительно необычно и требует таких дополнительных толкований, в отличие от обычных произведений графиков-пейзажистов или жанристов, не ставящих перед собой никаких других, сверх общепринятых, изобразительных задач.

Доктор искусствоведения Е. Некрасова".

Да, это так - математический аспект доминирует в работах Эсхера. "Волшебное зеркало..." рассказывает об этом убедительно и наглядно. Отчетливо просматривается путь мысли художника, если взглянуть на серию эскизов к гравюре "Картинная галерея". Точно так же становится ясной и внутренняя суть эсхеровской работы "Рыбы и чешуйки", стоит лишь внимательно изучить приводимые Бруно Эрнстом чертежи.

Но вот придет ли на ум самостоятельно, без подсказки автора, что математическая структура "Картинной галереи" представляет собой зеркальное отражение той "сетки", на которой построены "Рыбы и чешуйки"? И так ли уж очевидно, что "Дом из лестниц" построен с помощью чисто геометрического преобразования вертикальных и горизонтальных линий на поверхности цилиндра, как показано на рисунках? И логарифмические спирали, организующие гравюру "Путь жизни. II", тоже едва ли сами по себе стали видны неискушенному взгляду, если бы математик не програнил их своим все на свете обнажающим пером.

Но всего, пожалуй, "математичнее" серьезные игры художника с бесконечностью и с ее интерпретацией в различных геометрических построениях.

"Творчество знаменитого голландского "математического графика" Маурица Корнелиса Эсхера пользуется во всем мире широкой известностью у любителей искусства и,, вероятно, еще в большей степени у любителей науки; за последние десятилетия этот интерес захватил и нашу страну. (Автор настоящих строк также откликнулся в свое время на интерес к Эсхеру, коснувшись его творчества в статье "Симметрия и искусство орнамента", помещенной в сборнике "Ритм, пространство и время в литературе и искусстве", Л., Наука, 1974; однако в этой довольно специальной и общей статье Эсхеру возможно было уделить лишь минимум внимания.) Связь творчества Эсхера с наукой - с математикой, физикой, кристаллографией - является совершенно бесспорной; ее охотно подчеркивал и сам художник, выпустивший, например, специально рассчитанный на кристаллографов альбом своих рисунков, призванный проиллюстрировать все плоские кристаллографические группы: в качестве наименования отдельных иллюстраций из этого альбома он указал принятые в кристаллографии обозначения групп симметрии этих рисунков. Характерна также тесная связь М. К. Эсхера с одним из крупнейших современных геометров, канадцем Гарольдом Скоттом Макдональдом Коксетером. Книги Коксетера, в том числе и переведенные на русский язык, иллюстрировались гравюрами Эсхера, а Коксетер написал статью, сопровождающую один из последних (и из самых лучших) альбомов Эсхера. С другой стороны, некоторые из эффектных "неевклидовых" гравюр Эсхера развивают, как неоднократно указывал сам художник, темы, заимствованные из "чисто геометрических" иллюстраций к научным сочинениям Коксетера.

Доктор физико-математических наук, профессор И. М. Яглом".

^* (Имеется в виду последняя из созданных художником гравюр, названная им "Змеи", и эскизы к ней.- К. П.)

В книге приводится иллюстрация из работы Г. С. М. Коксетера, в которой Эсхер сразу же увидел новые возможности для своего художнического способа "игры" с бесконечностью. Так в 1958 году появилась гравюра "Предел на круге. I". Сам художник был недоволен ею. "В этой работе, поскольку она явилась первой попыткой, видны все недостатки. Не только форма рыб, развившаяся из некой прямолинейной абстракции в какое-то вымершее существо, но также и их расположение друг напротив друга оставляют желать лучшего. Можно проследить три различных ряда рыб, уменьшающихся в размерах по направлению осей, вдоль которых расположены их тела, но ряды эти состоят из белых рыб, соприкасающихся головами, и черных, смыкающихся хвостами. Таким образом нет непрерывности, нет "транспортного потока", нет единства цвета в каждом из рядов".

Вариация вторая

За этой гравюрой последовала другая, менее известная, "Предел на круге. II". По поводу ее Эсхер в разговоре с де Рийком говорил в своей обычной манере, когда шутку невозможно отличить от вполне серьезных слов: "На самом деле этот вариант надо бы написать на внутренней поверхности полусферы. Я предложил его папе Павлу, чтобы он распорядился украсить таким образом внутреннюю часть купола собора святого Петра. Представьте себе бесконечное число крестов, висящих у вас над головой! Но папе идея не понравилась".

Вариация вторая

Автор "Волшебного зеркала М. К. Эсхера" раскрывает "технологию" создания многих удивительных гравюр художника, воспроизводя в своей книге многочисленные эскизы, чертежи, а порой и специально сделанные макеты и фотографии. Вот как, например, рассказывает он о замысле гравюры "Три сферы. I" и его исполнении:

"Верхняя часть гравюры состоит из большого числа эллипсов, или, если хотите, большого числа маленьких прямоугольничков, расположенных по эллиптическим кривым. Но практически невозможно избавиться от ощущения, что мы видим перед собой сферу. Эсхер, однако, стремится внушить нам, что никаких сфер на его гравюре вовсе нет, что она абсолютно плоская. Поэтому он сгибает верхнюю часть гравюры и перерисовывает получившуюся фигуру под так называемой сферой. И все-таки мы вновь не в силах отказаться от трехмерной интерпретации изображенного: теперь мы видим полусферу с "крышкой" наверху! Хорошо же, говорит Эсхер, теперь я рисую верхнюю фигуру еще раз уже совершенно плоской, лежащей внизу гравюры. И что же? Даже тут мы отказываемся признать, что она плоская, и видим овальный надутый шар, а отнюдь не плоскую поверхность с нарисованными на ней кривыми линиями. Фотография иллюстрирует то, что сделано Эсхером".

Вариация вторая

Эта фотография, помещенная на обложку книги, иллюстрирует собой и тезис, неоднократно выдвигавшийся самим художником: "Рисовать - значит обманывать". Смысл, который он вкладывал в эти слова, состоит в том, что всякое изображение заставляет человека принимать воображаемое за реальность.

Вариация вторая

И в заключение, чтобы не оставить без ответа естественный вопрос о том, какой смысл вложил Бруно Эрнст в название своей книги, цитата из нее, относящаяся к гравюре художника, подарившей книге - имя, а ее автору - вдохновение:

"Эсхер в самом прямом смысле слова вызывает в сознании некие образы. Он держит перед собой волшебное зеркало, чары которого неотразимы. Здесь Эсхер несравненный, уникальный мастер. Гравюра "Волшебное зеркало" иллюстрирует это свойство его таланта особенно рельефно. С точки зрения чисто художественной, она, возможно, и не является удачной. Она предстает перед нами в виде запутанного клубка идей и образов. Конечно, на ней что-то происходит, но это "что-то" совершенно непонятно. Очевидно, гравюра содержит в себе некий рассказ о каких-то событиях, но начало и конец его скрыты от взора.

Все начинается на ней в самом неприметном месте. На краю зеркала, ближайшем к зрителю, прямо под наклонной перекладиной, мы видим кончик маленького крылышка вместе с его отражением. По мере того как взгляд наш скользит вдоль зеркала, оба они вырастают во вполне законченную крылатую собаку и ее зеркальный образ. Коль скоро мы позволили уверить себя, что в принципе возможна жизнь кончиков крыльев независимо от самих крыльев какого-то живого существа, мы должны согласиться и с тем, что вся ситуация в целом не лишена правдоподобия. Когда настоящая собака движется от зеркала вправо, ее отражение уходит влево и выглядит при этом настолько реальным, что у нас не вызывает ровно никакого удивления тот факт, что отражение это движется за зеркалом, совершенно не обращая внимания на его раму. Теперь уже крылатые гончие смещаются и вправо и влево, дважды удваиваясь на своем пути, и наконец встречаются друг с другом как две армии. Однако прежде чем наступит конфронтация, они вдруг теряют свои пространственные свойства и превращаются в плоский узор на мозаичном полу. Если внимательно всмотреться, то видно, что черные собаки превращаются в белых в тот миг, когда они проходят сквозь зеркало, при этом как раз заполняются светлые промежутки между черными собаками. Эти белые промежутки затем исчезают, и скоро от собак не остается никаких следов. Впрочем, они ведь никогда и не существовали, поскольку крылатые собаки не рождаются в зеркалах! И тем не менее загадка остается загадкой: перед зеркалом расположена сфера, а в зеркале видна часть ее отражения, отклоненная на некоторый угол. За зеркалом же мы вновь видим сферу - вполне реальный объект в самой середине нереального зазеркального мира.

Вариация вторая

Кто этот человек, кто обладает волшебным зеркалом? Почему он создает гравюры вроде той, что сейчас перед нами, явным образом, не обращая никакого внимания на вопросы эстетики?.."

Вариация вторая

Дорис Шатшнейдер и Уоллес Уолкер. М. К. Эсхер. Калейдоциклы. Балантайн букс, Нью-Йорк, 1977, 48 стр. и альбом с 17 цветными развертками различных калейдоциклов.

Doris Schatschneider and Wallace Walker M. K. Escher. Kaleidocycles. Ballantine Books. New York, 1977, 48 p.

И книга, и альбом, который составляет с ней одно законченное целое, построены, в сущности, на одной счастливой находке.

Но сначала несколько слов об истории, про которую в книге ничего не сказано. В ведущем американском научно-популярном журнале "Сайентифик Америкэн" (который с начала 1983 года переводится на русский язык издательством "Мир") была напечатана статья Марианны Теубер, специалистки по истории искусства, "Источники неоднозначности в гравюрах М. К. Эсхера". Вокруг нее неожиданно разгорелась полемика.

Смысл статьи сводился к тому, что Эсхер будто бы творил под сильным воздействием работ психологов, особенно тех из них, кто принадлежал к так называемой школе гештальтпсихологии, считавших, что человек мыслит лишь образами, воспринимая мир сразу всем своим существом, во всяком случае - всем своим мозгом. Марианна Теубер с не совсем понятной для ученого категоричностью утверждала, что Эсхер был знаком с работой Курта Коффки "Принципы гештальтпсихологии", что ему известны были труды Эдгара Рубина и других психологов. Тон статьи выбран таким, будто речь идет не о гипотезе, нуждающейся в проверке, а о безусловных фактах.

Вариация вторая

В редакцию "Сайентифик Америкэн" пришло письмо от сына художника Джорджа Эсхера, по профессии геолога, в котором он самым решительным образом возражает Марианне Теубер. Работы гештальтпсихологов не оказали практически никакого влияния на его отца просто потому, что он их никогда не читал. Это доказывается, в частности, тем, что М. К. Эсхер вел очень подробные записи, касающиеся всех его занятий, и там отмечались все источники, из которых он черпал свое вдохновение, однако ни слова в этих многолетних и тщательно составленных бумагах не сказано о трудах хотя бы одного из психологов. Образ человека, возникающий по прочтении статьи Теубер, ничем не напомнил Джорджу Эсхеру его отца - ищущего, трудолюбивого, фанатически увлеченного своим делом художника, который никогда не искал готовых схем для своих гравюр в научных и технических журналах.

Вариация вторая

Что же касается его постоянного интереса к проблеме "фигура-фон", которой действительно много занимались гештальтпсихологи, а также почти болезненного стремления заполнять плоскость листа различными фигурами, вплотную, без зазоров примыкающими друг к другу, что само по себе тоже имеет некоторое касательство к обсуждавшимся гештальтпсихологами вопросам, то в одном из писем Джордж Эсхер рассказывает о любопытном эпизоде. Однажды его отец, будучи уже известным художником, ехал в трамвае, и вдруг солидная дама окликнула его: "Маук Эсхер?" Это было его школьным именем, и, естественно, начались воспоминания двух уже немолодых одноклассников. И первое, чем поинтересовалась дама, было - не изменилась ли его детская привычка тщательно подбирать кусочки сыра и колбасы, прежде чем положить их на хлеб, чтобы бутерброд получился с безукоризненным "покрытием"? Оказалось, что хотя бы в этом отношении Маук совершенно не изменился.

Вот эту самую "безнадежную манию", как сам Эсхер называл свое пристрастие к сочинению всякого рода мозаик, и использовали авторы книги-альбома. Они поместили эти бесчисленные плоды его воображения и мастерства на грани своего рода пространственных колец - калейдоциклов, создав тем самым удивительные по красоте и необычности геометрические построения - "развитие работ Эсхера в третьем измерении", как сами они называют свое изобретение.

Вариация вторая

Калейдоцикл - кольцо, собранное из соединенных друг с другом вдоль своих ребер тетраэдров. Оно способно к самым неожиданным превращениям, когда звенья этого кольца, вращаясь, проходят через его центр. И совсем уж редкостный эффект возникает, когда грани тетраэдров несут на себе одну из эсхеровских мозаик, о чем свидетельствует множество моделей, которые может построить своими руками всякий, у кого есть книга-альбом "М. К. Эсхер. Калейдоциклы".

Разумеется, авторы ее никак не могли пройти мимо героев этой книги - Платоновых тел. "Великолепная пятерка" волновала и Эсхера. В числе самоделок, предлагаемых читателю, додекаэдр, построенный художником, вращая который в любом направлении, мы постоянно видим чередование морских звезд и ракушек. Есть там и куб, и икосаэдр, и октаэдр и некоторые из полуправильных многоугольников, каждый из которых украшен мозаикой. Но самое, быть может, сильное впечатление производит фотография наиболее совершенного из всех геометрических тел - сферы, по поверхности которой знаменитый японский резчик по слоновой кости Масаточи разместил мозаику из рыб. Идея создать этот шедевр принадлежала Корнелиусу Рузвельту, который коллекционирует не только работы Эсхера, но и японские нецке - миниатюрные изделия из кости или камня.

Читатель книги-альбома познакомится и со многими важными понятиями кристаллографической симметрии, и с проблемой раскраски карт, и с другими любопытными вещами. Но все это будет полезным приложением к долгим часам наслаждения, когда он, с ножницами и клеем в руках, готовит поразительные в своем разнообразии и изяществе калейдоциклы.

Вариация вторая

Дуглас Р. Хофстадтер. Гедель, Эсхер, Бах: Нескончаемая золотая цепь. Бейсик букс, Нью-Йорк, 1979,777 с.

Douglas R. Hofstadter. Godel, Escher, Bach: An eternal golden braid. Basic Books, Inc., Publishers, New York, 1979, 777 p.

Из трех попавших в поле нашего внимания книг, раскрывающих возможности искусства в выражении геометрических идей, эта самая объемная и, пожалуй, самая глубокая и интересная.

Дуглас Хофстадтер, молодой инженер-компьютерщик, получивший весьма разностороннее, в том числе языковое и музыкальное, образование, подметил еще одну "тонкую, властительную связь" - между знаменитой теоремой Курта Геделя, музыкой Иоганна Себастьяна Баха и гравюрами Маурица Корнелиса Эсхера. Символом этой связи служит вырезанная и сфотографированная им самим фигура.

Что касается связи между музыкой Баха и творениями Эсхера, то она, видимо, лежит в глубинах их творчества. И хотя можно строить лишь предположения о том, что сказал бы Бах по поводу работ Эсхера, если бы они ему были показаны, с достоверностью известно, что любимым композитором Эсхера был именно Бах. "Он любил музыку,- вспоминает многолетний друг и финансовый советчик Эсхера Ян Вермеулен.- Если где-либо случался концерт Баха, мы часто отправлялись туда вдвоем с ним. К Баху у него было особое влечение. Он анализировал математическую сторону его композиций так же скрупулезно, как изучал форму птицы или оптические свойства призмы. Гравюры Эсхера вдохновили голландского композитора Юриана Андриссена написать произведение, которое сам Эсхер весьма ценил".

Эсхер, однако, не просто любил музыку. Как в литературе его вкусы определились довольно рано и оставались неизменными (он любил Достоевского, особенно "Преступление и наказание" и "Идиота", а "Война и мир" Л. Н. Толстого была книгой, с которой он не расставался до последнего часа), так и в музыке он принимал лишь ту ее часть, что не слишком справедливо называется иногда "серьезной". Его неприятие суперсовременных ритмов было столь велико, что Эсхер в самой решительной и даже резкой форме отказал Мику Джэггеру, одному из популярнейших певцов невероятно популярной группы "Роллинг стоунз" и в то же время горячему почитателю таланта Эсхера, в разрешении поместить одну из своих гравюр (а именно гравюру "Вербум", о которой Нобелевский лауреат Мелвин Кельвин писал: "В ней в художественной форме представлены те проблемы, о которых я думал - сущность эволюции и жизни на земле") на конверте с новой долгоиграющей пластинкой. Впрочем, другие поп-группы оказались менее щепетильными и широко использовали различные работы Эсхера для рекламы своих дисков, эксплуатируя любовь молодежи к его загадочным и в то же время прекрасным гравюрам и при этом не спрашивая согласия художника.

Дуглас Хофстадтер выбрал лишь одно из произведений Баха - "Музыкальное приношение", а из него всего один из десяти канонов, который он называет "Бесконечно Поднимающимся Каноном" (вместо простого и скромного баховского "Canon per Tonos"). Канон этот "устроен", таким необычайным образом, что слушателю представляется, будто мелодия поднимается все выше и выше, уходит в бесконечность, и вдруг, когда пройдено шесть витков этой уходящей в небо спирали, оказывается, что канон звучит точно так же, как и вначале (у Баха, правда, на октаву выше, но в книге предлагается способ исправить это "упущение" великого композитора).

Для явлений подобного рода Хофстадтер придумал специальный термин "странные петли". Феномен "странной петли" состоит в том, что, поднимаясь вверх (или опускаясь вниз) по уровням некой иерархической системы, мы неожиданно обнаруживаем себя на том же месте, откуда начали свой путь. "Странные петли" существуют в "спутанных иерархиях" (это снова термин, придуманный автором книги) - например, в науковедении, поскольку тут наука изучает свои собственные закономерности, или же в созданных правительственными органами институтах, занятых изучением деятельности правительства, или же в попытках человеческого мозга познать свою собственную структуру.

И здесь естественным и логичным путем перекидывается мостик к гравюрам Эсхера и его видению мира:

"На мой взгляд, самым прекрасным и мощным зрительным выражением идеи "странной петли" является творчество голландского графика М. К. Эсхера, который жил с 1902 по 1972 год. Его работы стимулируют деятельность интеллекта в большей степени, чем любые другие из когда-либо созданных художниками. Многие из его гравюр основаны на парадоксах, иллюзиях или неоднозначности. Математики были первыми среди почитателей его таланта, и это понятно, поскольку гравюры его часто несут в себе понятия математического толка - например, симметрии... Но в его работах всегда присутствует нечто большее, чем, скажем, просто симметрия. Они представляют собой скрытую идею, реализованную в художественной форме. Среди других идея "странной петли" - одна из самых частых в его творчестве. Взгляните, к примеру, на гравюру "Водопад" и сравните ее шестизвенную бесконечно падающую петлю с шестизвенной бесконечно восходящей петлей "Canon per Tonos". Совпадение знаменательное. По сути дела, Бах и Эсхер исполняют одну и ту же тему в двух разных "ключах" - музыкальном и графическом.

Эсхер реализовал идею "странной петли" несколькими различными способами, их можно выстроить по степени "затянутости" петли. В гравюре "Поднимаясь и опускаясь", на которой изображены монахи, навечно обреченные тащиться по нескончаемым ступеням, дана самая свободная из петель, поскольку здесь требуется совершить большое число шагов, прежде чем будет достигнута начальная точка пути. Петля "Водопада" более узкая, так как она, как уже отмечалось, состоит всего из шести звеньев-шагов... Затягивая петлю дальше, мы получаем знаменитую работу "Рисующие руки", на которой каждая рука рисует другую - это петля из двух звеньев. И, наконец, самая узкая из возможных петель реализована в гравюре "Картинная галерея", которая представляет собой картину, включающую в себя себя самою...

Неразрывно с понятием "странной петли" понятие бесконечности, ибо что еще представляет собой петля, как не бесконечный процесс, изображенный в конечном виде? Идея бесконечности играет большую роль во многих работах Эсхера. Вариации одной и той же темы часто включены одна в другую, образуя таким путем изобразительную аналогию канонам Баха. К примеру, это легко можно увидеть на знаменитой гравюре "Метаморфозы". Она в известной мере напоминает "Бесконечно Поднимающийся Канон": путешествуя по ней все дальше и дальше, оказываешься вдруг в самом начале".

Дуглас Хофстадтер не просто подмечает аналогию, но и использует ее для разрешения некоторых парадоксов познания. Он, в частности, приводит в своей книге диаграмму, схематически иллюстрирующую "спутанность" иерархий в системе "Рисующие руки". Тут нет обычных легкоразличимых уровней "рисующая" и "рисуемая" рука. Парадокс разрешается благодаря тому, что находится следующий, невидимый уровень, находящийся в ином по отношению к гравюре измерении: это сам Мауриц Корнелис Эсхер, ее создатель, который является "рисующим" по отношению к правой и левой руке, да и всей гравюре в целом. Ситуацию можно еще дополнительно "эсхеризировать", как предлагает автор книги: стоит лишь сфотографировать руку человека, рисующего гравюру "Рисующие руки".

Разговор о парадоксах подвел нас вплотную к смыслу аналогии между трудами Геделя, логика, и Эсхера, художника. Однако этот путь увел бы нас слишком далеко от нашей геометрической темы, хотя правда, пройдя его, мы сумели бы вновь вернуться к начальной точке, совершив еще одну "странную петлю". Поэтому, сознательно игнорируя серьезный разговор о теореме Геделя, позволим себе лишь высказать предположение, что и параллель "Гедель-Эсхер" тоже вполне обоснована некими глубинными структурами сознания и того и другого.

Вариация вторая

Ведь в чем суть геделевской "теоремы о неполноте"? Она утверждает, что система не может понять свое собственное устройство, если не поднимется на следующий уровень (это одно из возможных толкований). В чем здесь главное? В парадоксе. Сродни знаменитому высказыванию критянина Эпименида "Все критяне лжецы", про которое нельзя сказать, истинно оно или ложно. Так вот именно парадоксами столь богата жизнь самого Эсхера, а не только его гравюры. В самом деле, в школе он не успевал по математике, оставался даже на второй год - и именно математики находят в его гравюрах глубокий смысл и источник вдохновения. До сорока лет он беспрерывно путешествовал, а потом практически не покидал своего дома в Баарне до самой смерти. Он рисовал левой рукой, а писал - правой. Всю жизнь был убежденным атеистом и не раз позволял себе антиклерикальные высказывания (даже знаменитая гравюра "Поднимаясь и опускаясь" таит в себе плохо скрытое издевательство, поскольку "монашеский труд" по-голландски означает пустую, бессмысленную работу), но ближайшим другом его был бывший "брат Эрик" - монах-расстрига Ханс де Рийк. Можно ли удивляться, что такого человека тянуло к парадоксам и в искусстве? А если так, то незачем искать иных причин, почему творчество его оказалось сродни глубоким и парадоксальным идеям Геделя - идеям истинно философского звучания.

...И здесь, заключая рассказ о книге "Гедель, Эсхер, Бах: нескончаемая золотая цепь", хочется сказать несколько слов о связи между математикой и философией, потому что, быть может, именно этих рассуждений не хватает книге Хофстадтера, обнаружившего не лежащую на поверхности близость образов, созданных средствами музыки и графики, математическим идеям.

Вариация вторая

Математика и философия многие века шли рука об руку, более того они были, в сущности, нерасторжимы: философы считали себя математиками, математики рассуждали как философы. Но и разойдясь, они не утратили "взаимности": философы по-прежнему находили в математических абстракциях опору для своих выводов, а математики, как и раньше, нередко по самым разным поводам обращались к философии. В наше время связь эта приобрела особое значение. "Неожиданная, на первый взгляд, не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру многих сбила с толку. Отдельные теоретики... стали задаваться вопросом: а не был ли прав Платон в своем объективном идеализме? В самом деле: разрабатывается некий математический аппарат, а затем оказывается, что физическая реальность подчиняется его выводам и законам",- пишет в последнем августовском номере газеты "Правда" за 1984 год член-корреспондент АН СССР Ю. А. Жданов.

"Не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру" сбивала с толку не единожды и в прошлом, и не только философов платоновского плана, но и многих выдающихся и даже великих математиков - кстати, высказывания некоторых из них рассыпаны по страницам этой книги.

Легендарная надпись на вратах Академии, основанной Платоном почти две с половиной тысячи лет назад, гласила: "Негеометр да не войдет!". Казалось бы, какое право было у Платона на такие слова: что существенного сам он сделал для геометрии?

Но дело вовсе не в том, что Платон дал геометрии, а в том, что геометрия дала Платону, чем была она для его учения, послужившего основой философской системы объективного идеализма. Чтобы воочию увидеть зарождение и обоснование темы, отраженной в надвратной надписи, стоит лишь прочитать платоновский диалог "Менон". Ключевая сцена его - "доказательство" того, что знание возникает в нас в результате не научения, а припоминания. Из этого следует центральный пункт платонизма: существует мир идей, находясь в котором до своего воплощения, душа приобрела свои знания. К этому основному выводу своего диалога Платон подводит с помощью геометрического доказательства. Он демонстрирует, что знания о геометрических фигурах не приобретаются, а имеются в человеке в готовом виде, и их нужно только умело извлечь.

Вариация вторая

Таким образом, первоначальной платоновской идеей была математическая идея. Поэтому нет резона удивляться надвратной надписи. Не знающий геометрии не поймет, что такое геометрическая идея, а значит, для него останется пустым звуком и понятие идеи вообще.

Обычные нематематические понятия - это как бы тени, отголоски реальных предметов, воспринимаемые нашими органами чувств. Идея сосны в нашем сознании гораздо бледнее, расплывчатее, призрачнее, чем живой образ сосны, которую мы непосредственно созерцаем. Поэтому если ограничиваться только такими идеями, то каждому ясно, что они "привязаны" к вещам, зависят от них и, не будь вещей, не было бы соответствующих идей.

Но возьмем понятие треугольника. Математический треугольник в некотором смысле обладает более четкими свойствами, чем любой конкретный треугольник, сделанный из дерева, металла и т. д. Скажем, сумма углов математического треугольника всегда точно равна 180 градусам, чего нельзя сказать про вещественный треугольник, даже про тот, который мы с помощью карандаша и линейки сверхаккуратно нарисуем на бумаге. И в первую очередь потому, что мы не в состоянии с идеальной точностью измерить углы такого треугольника - этого нам не позволит ни сам объект измерения, ни приборы и способы измерений, имеющиеся в нашем распоряжении, отсюда и можно сделать умозрительный вывод об изначальной незаданности геометрических величин и фигур, то есть прийти к выводу о "примате" математического треугольника над материальными, которые лишь стремятся достигнуть свойств первого, но из-за сопротивления материи не могут сделать этого.

Платон обладал свойственной всем великим мыслителям жаждой цельности и последовательности, а поэтому, признав "самостоятельность жизни" математических идей, он распространил это признание на все идеи вообще.

Идеалистическую традицию в философии В. И. Ленин называл "линией Платона". Как видно из цитированных слов Ю. А. Жданова, ее существованию в наше время способствуют в какой-то мере и те из математиков, кто проявляет определенную растерянность в понимании и сущности математических объектов. Им можно было бы напомнить хорошо известное высказывание Ф. Энгельса: "Понятие числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие . счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития... Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действенного мира, стало быть весьма реальный материал...".

Конечно, математика времен Платона и современная математика отличаются друг от друга, но только в том смысле, что они - ступени, одна ниже, другая выше, одного и того же процесса познания действительности путем все большего отвлечения от конкретного содержания реальных объектов. Но как бы ни меняла свой лик эта древнейшая из наук, на какую бы высоту абстрагирования она ни поднималась, своими корнями она всегда была связана с познающей и преобразующей деятельностью Человека. И в этом видится мне смысл слов, которыми Дуглас Хофстадтер заканчивает свою книгу: "...Вот почему в моей книге идеи, касающиеся работ Геделя, Эсхера и Баха, выстроены в единую линию и соединены в нескончаемую золотую цепы".

...И такой же нескончаемой золотой цепью предстает перед нами старая мудрая наука Геометрия...

Вариация вторая

Мечтатели, сибиллы и пророки, 
Дорогами, запретными 
для мысли, 
Проникли - вне сознания - 
далеко, 
Туда, где светят 
царственные числа.

Валерий Брюсов