110. Угадать задуманное число иным способом

Сначала нужно поступать, как в предыдущих задачах, т. е. предложить утроить задуманное число, взять половину (или "большую половину") полученного произведения, утроить эту половину и взять снова половину (или "большую половину") полученного числа. Но затем вместо вопроса, чему равно частное от деления последнего числа на 9, можно попросить назвать все цифры, которыми пишется это последнее число, кроме одной, лишь бы эта неизвестная отгадывающему цифра не была нуль.

Точно так же необходимо, чтобы загадывающий сказал и порядок цифр - как тех, которые уже им названы, так и той, которая угадывающему еще неизвестна.

После этого, чтобы узнать задуманное число, надо сложить все цифры, которые названы, и отбросить от этой суммы 9 столько раз, сколько возможно. Остаток, который после этого получится, надо вычесть из 9, и тогда получится неизвестная цифра; или же, если остаток будет нуль, то неизвестная цифра и есть 9. Поступают именно так в том случае, если оба раза деление пополам совершалось нацело. Если же, чтобы разделить число пополам, приходилось прибавлять 1 в первый раз, то нужно сначала к сумме известных цифр прибавить еще 6 и поступать затем, как указано.

Если же для деления пополам приходилось прибавить 1 только второй раз, то к той же сумме нужно добавить 4.

Если же в обоих случаях деление не совершалось сразу нацело и приходилось прибавлять по 1, то к сказанной сумме нужно прибавить 1.

Нашедши таким образом неизвестную цифру по-следней половины, мы узнаем и саму половину. Узнав же, сколько раз в ней заключается по 9, взяв соответственное число раз по 4 и прибавляя, когда нужно, 1, 2 или 3, получим искомое задуманное число.

Пример. Задумано 24. Утроив и разделив два раза, находим, что последняя половина есть 54. Пусть задумавший число назовет угадывающему первую цифру 5. Тогда вычитанием 5 из 9 получается вторая цифра 4. Итак, последняя половина есть 54. В ней 9 содержится 6 раз.

Следовательно, задуманное число есть 4*6 = 24. Положим еще, что задумано 25. Утраивая и беря половину произведения, утраивая эту половину и беря снова половину, находим 57. Но нужно помнить, что в первом случае, чтобы получить половину, приходилось прибавлять 1; поэтому, если задумавший число объявит, например, первую цифру 5, то надо к 5 прибавить 6, получится 11, отбрасывая 9, получим 2, вычитая 2 из 9, получим вторую цифру 7. Итак, вторая половина 57; в ней 9 содержится 6 раз. Отсюда задуманное число равно 4*6 + 1 = 25.

Пусть задумавший число скажет, что последняя полученная им половина числа состоит из трех цифр, что две последние цифры суть 13 и что для деления пополам нацело приходилось во второй раз прибавлять 1. В таком случае к сумме 1+3 = 4 нужно при-" бавить еще 4, получается 8. Вычитая 8 из 9, получим 1. Следовательно, последняя половина есть 113; в ней 9 содержится 12 раз. Поэтому задуманное число есть 4*12 + 2 = 50.

Точно так же, если бы задумавший число сказал, что после утроений и делений на 2 он получил трехзначное число, в котором первая цифра 1, а последняя 7, и что в обоих случаях при делении на 2 приходилось прибавлять по 1,то на основании предыдущего поступаем так: 1+7+1=9. Отбрасывая 9, получим в остатке нуль, т. е. неизвестная цифра последней половины есть 9, и сама это половина есть 197, где 9 содержится 21 раз. Отсюда по предыдущему заключаем, что задуманное число есть 4*21+3 = 87.

Доказательство. Обращаясь к доказательству, данному для задачи 108, находим, что для числа вида 4n окончательный результат вычисления дает 9n, т. е. число, кратное 9. Следовательно, сумма цифр этого числа должна делиться на 9, а отсюда заключаем, что неизвестная нам цифра такова, что, сложив ее с остальными известными цифрами, мы должны получить число, делящееся на 9 (т. е. кратное 9). Если же сумма известных цифр кратна 9, то значит, неизвестная цифра сама есть 9, ибо нам дано, что она не нуль.

Для числа вида 4n + 1 результат вычислений есть 9n + 3; прибавляя сюда б, получаем число, кратное 9, т. е. кратна 9 и сумма его цифр.

Для числа вида 4n + 2 результат вычислений дает 9n + 5; прибавляя 4, получаем число, кратное 9, следовательно, и сумма его цифр должна быть кратной 9.

Наконец, для числа вида 4n + 3 окончательный результат вычислений дает 9n + 8. Прибавляя 1, находим число, кратное 9. Сумма его цифр также должна быть кратна 9.

Итак, указанные нами выше правила верны.