75. Кто на ком женат?

Трое крестьян, Иван, Петр и Алексей, пришли на рынок с женами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих шести человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Петр - на 7 предметов больше Марии. Решение. Если один из мужчин купил, скажем, х предметов, то по условию он заплатил за них х² копеек. Если его жена купила у предметов, то она заплатила за них у² копеек. Значит, имеем х² - у² = 48, или (х - у)*(х + у) = 48.

Числа х, у по условию целые и положительные. Это возможно только в том случае, когда х - у и х + у четны и х + у > х - у. Разлагая 48 на сомножители, видим, что имеется только три удовлетворяющие этому условию возможности: 48 = 2*24 = 4*12 = 6*8, или

Решая эти системы уравнений, находим x₁ = 13, у₁ = 11, х₂ = 8, у₂ = 4, х₃ = 7, у₃ = 1.

Отыскивая те значения х и у, разность которых равна 9, находим, что Иван купил 13 предметов, Екатерина - 4 предмета. Точно так же Петр купил 8 предметов, Мария - 1 предмет. Таким образом, имеем следующие пары: