35. Быстрое возведение в квадрат

Существует очень простой прием для устного быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на 5.

Нужно цифру десятков умножить на ближайшее к этой цифре большее целое число и к произведению приписать 25.

Так, например, 352 = 1225, 852 = 7225.

Доказательство. Всякое число, оканчивающееся на 5, можно представить в виде 10а + 5, где а -число десятков. Тогда (10а + 5)² = 100а² + 2*5*10а + 25 = 100а² + 100а + 25 = а*(а+1)*100 + 25. Это равенство показывает, почему к числу а*(а+1) нужно справа дописать 25, чтобы получить квадрат числа 10а + 5.

Аналогичным приемом можно пользоваться при возведении в квадрат не только двухзначных, но и любых целых чисел, оканчивающихся на 5. В этом случае не всегда легко производить нужные вычисления в уме. Однако он создает большую экономию во времени при умножении на бумаге. Так, например,

10*11= 110, значит, 105² = 11 025,

12*13= 156, значит, 125²= 15 625,

123*124=15 252, значит, 1235²= 1 525 225.