Тетрадь шестая

- Мама, я включаю телевизор!

- А что ты собираешься смотреть, Петя?

- Все равно что. Что будут показывать.

- Так нельзя, сынок. Мы же договаривались, что вы с Олей будете смотреть только детские передачи. Я посмотрела программу: сейчас идет передача не для детей.

- А давай немножко посмотрим не для детей!

- Зачем? Ведь и кроме телевизора есть немало интересных занятий. Мы можем, например, послушать пластинки. И мама достала несколько пластинок:

- Сначала послушаем музыку, а потом сказки.

- Подожди, мама, не ставь пластинку. Я покажу вам фокус.

И Петя с загадочным видом взял из маминых рук конверт с пластинкой.

- Видите: квадрат. Р-раз - и получился круг!

С этими словами Петя вытащил из конверта пластинку, а конверт быстро спрятал за спину.

Оля рассмеялась.

- А сейчас могу снова квадрат сделать, хотите?

- Пожалуй, не стоит снова делать квадрат,- сказала мама.- Положи-ка лучше круг, который у тебя в руках, вот на этот круг,- добавила она, показывая на круглый диск проигрывателя.

- Усаживайтесь на диван, будем слушать музыку.

Петя быстро забрался на диван и устроился с краю, возле проигрывателя.

- Чур, я здесь сижу! - воскликнул он.

- Нет, я! - возразила Оля.

- Не спорьте, дети. Каждый из вас успеет посидеть на этом месте.

Мама усадила Олю рядом с Петей и включила проигрыватель. Дети притихли, с удовольствием слушая музыку. Пе-реворачивая пластинку, мама предложила Оле и Пете поменяться местами.

Когда пластинка остановилась, мама сказала:

- Ну, вы довольны? И музыку послушали, и каждый посидел возле проигрывателя. Теперь вы поняли, что не из-за чего было спорить? Вас очень просто примирила математика.

- Причем тут математика? - удивился Петя.

- А притом, что можно сосчитать: у пластинки две стороны и способов посадить вас двоих на диване около проигрывателя - тоже два. Понятно?

- Понятно. Когда слушали одну сторону пластинки - я у проигрывателя сидел, Оля рядом со мной; а когда другую - Оля у проигрывателя, я рядом с ней. Все очень просто.

- Конечно, это была простая задача,- подтвердила мама.- Потому что рассаживались только двое. Вот если бы я включилась в ваш спор и мы стали спорить втроем, то задача с пересаживаниями оказалась бы сложнее.

Оля сразу обрадовалась:

- Давайте спорить втроем!

- Тут и спорить нечего,- заявил Петя.- Я уже догадался, сколько есть способов сидеть на диване втроем. Нас трое, значит, и способов три.

- Не торопись,- сказала мама.- Давай-ка тщательно переберем все эти способы и проверим, прав ли ты. Сначала у проигрывателя пусть сядет Оля.

- Правильно, - перебил Петя. - Это первый способ. Потом у проигрывателя сядет Петя - это второй способ. А третий - когда у проигрывателя сядет мама. Я был прав!

- Ты опять спешишь! По-твоему получается, что когда у проигрывателя сидит Оля, то это один способ. Но это же неверно! Ведь мы с тобой можем разместиться по-разному:

ты рядом с Олей, потом я,

я рядом с Олей, потом ты.

Видишь, получается не один способ, а два. Сколько же способов всего? Как рассуждать дальше?

Петя стал рассуждать вслух:

- Теперь пусть у проигрывателя сядет Петя. Тогда мама и Оля могут разместиться рядом с Петей по-разному:

Еще два способа получилось. Осталось посадить у проигрывателя маму. Получится еще два способа.

А всего сколько их получилось? Сейчас сосчитаю... шесть!

- Вот теперь правильно,- сказала мама.- А как пишется цифра шесть, ты знаешь?

- Нет еще.

- Возьми свою тетрадь, я напишу в ней шестерку.

Петя тут же принялся писать шестерки.

- Мама, а как записать решение нашей задачи с пересаживаниями? - спросил Петя.- Можно так? Ведь мы как считали? Когда Оля у проигрывателя - два способа, когда Петя у проигрывателя - еще два, когда мама - еще два. Всего получится шесть.

- Молодец, - похвалила мама. - Именно так мы и сосчитали, что всех способов размещения шесть. А теперь подумай, как можно изобразить на бумаге сами размещения?

Петя задумался:

- Ну... можно нарисовать шесть рисунков, как мы пересаживаемся на диване.

- А я на диване мишку, зайку и щенка пересаживаю,- вмешалась Оля.

- Нарисуй лучше шесть рисунков про них.

Петя недовольно проговорил:

- Опять ты со своими игрушками! Мы же ма-те-ма-ти-кой занимаемся! А ты...

- Петенька,- перебила его мама.

- Ты зря придираешься к сестре. Оля подала неплохую мысль. Я как раз собиралась сказать, что совсем не обязательно рисовать именно нас. Можно было бы изобразить, как размещаются на диване мишка, зайка и щенок или какие-нибудь другие игрушки. Например, кубик, мячик и пирамидка. Кстати, и нарисовать их намного легче.

- А еще удобнее,- продолжала мама,- рисовать не игрушки, а цифры. Вместо трех разных игрушек возьмем три разные цифры, например 1, 2 и 3, и изобразим для них все шесть возможных размещений. Сделай это в своей тетрадке, Петя.

Петя постарался получше выполнить мамино задание.

Ему так понравились аккуратные записи, которые у него получились, что он решил обязательно показать их папе. Вечером, как только папа вошел в квартиру, Петя выбежал ему навстречу с тетрадкой в руках.

- Смотри, какие интересные записи! Это у меня решение задачи. Тебе ни за что не догадаться какой!

Папа улыбнулся:

- Да, трудно будет догадаться, но попробую. Сейчас переоденусь, умоюсь и сразу возьмусь за дело.

Через несколько минут папа уже внимательно рассматривал Петины записи.

- Ну, не можешь догадаться? Не можешь? - нетерпеливо теребил его Петя.

Папа переглянулся с мамой и, приняв растерянный вид, развел руками:

- Не могу. Придется тебе все объяснить.

И Петя с важностью принялся объяснять:

- Здесь записано, как мы втроем на диване пересаживались. Один - это Оля, два - это Петя, а три - это мама. Все шесть способов записаны.

- А я еще на диване мишку, задку и щенка пересаживала,- сказала Оля.

- Не забудьте, что мы еще говорили про кубик, мячик и пирамидку,- добавила мама.

- И все здесь записано цифрами,- закончил объяснение Петя.- Понял, папа?

- Очень хорошо понял,- с улыбкой ответил папа.- У тебя в тетрадке записаны все возможные способы размещения любых трех предметов. Таких способов шесть.

- А давайте еще какие-нибудь задачи с шестеркой решать! - предложил Петя.

- Я думаю, что сегодня занятий математикой было достаточно,- сказала мама.- И потом не забывай, что мы еще договорились слушать пластинки со сказками.

- Правильно! - воскликнула Оля. - Будем слушать сказки.

Папа сказал:

- Я с удовольствием послушаю сказки вместе с вами. А задачи с шестеркой будем решать завтра.

На другой день Петя и папа продолжили занятия.

- Обрати-ка внимание, сынок, на эту запись в твоей тетрадке.

Как здесь получается шесть? Два плюс два и еще плюс два, то есть мы двойку берем три раза. Вот как это можно записать более удобно.

Читается эта запись так: "Два умножить на три получится шесть". Повтори.

Петя повторил, а потом спросил:

- Разве крестик означает "умножить"? Ведь это плюс, и он означает "прибавить"!

- Ты не прав, сынок. Конечно, этот крестик и плюс похожи, но посмотри более внимательно - пишутся они по-разному:

один так: +, а другой вот так: x.

Видишь разницу?

- Теперь увидел, - сказал Петя.- Плюс немного повернулся, и вместо "прибавить" получилось "умножить".

- Вот именно,- подтвердил папа. - Если какой-нибудь знак повернуть, то может совсем другой знак получиться. Например, если шестерку повернуть вот так, то получится другая цифра - девять. Мы до девятки еще доберемся.

Петя рассмеялся:

- Вот так здорово! Значит, девятка - это перевернутая шестерка.

- Правильно! А можно сказать и наоборот: шестерка - это девятка вниз головой.

Петя немного подумал и сказал:

- А если плюс перевернуть вниз головой, то снова плюс получится! И если крестик, который обозначает "умножить", перевернуть, то снова он же получится! Папа, а для этого крестика тоже есть какое-нибудь специальное название?

- Нет, так и говорят: знак умножения. Для умножения есть и другой знак - точка. Так что можно записать:

Читается эта запись так же: "Два умножить на три получится шесть". А иногда говорят еще и так: "Дважды три - шесть". Повтори.

- Дважды три - шесть,- несколько раз повторил Петя.

Эти слова услышала Оля. Она подбежала к папе и Пете и сказала:

- А я тоже так считать умею: дважды два - четыре. Я даже про это песенку знаю.

- Песенку-то ты знаешь. А вот сколько будет дважды два, еще сосчитать надо! Да, папа?

- Да. Хотя "это всем известно в целом мире", но давайте мы все-таки проверим, что дважды два - четыре.

Как ты будешь рассуждать, Петя?

Петя сказал:

- Что значит "дважды два"? Это значит "два умножить на два". Верно?

- Верно.

- А что значит "два умножить на два"? Это значит "два взять два раза", то есть к двум прибавить два. Верно?

- Верно.

- А к двум прибавить два получится четыре. Вот мы и проверили, что дважды два - четыре.

- Молодец! Теперь запиши это.

Петя записал в своей тетрадке:

- А вот вам к этой записи задача,- сказал папа.- Ее, пожалуй, даже Оля смогла бы решить. У моей куртки два кармана. На каждом кармане по две пуговицы. Сколько всего пуговиц на карманах?

Оля принялась считать пуговицы на папиной куртке, а папа спросил Петю:

- Подходит эта задача к твоей записи?

- Конечно, подходит: на одном кармане две пуговицы, на другом тоже две пуговицы; значит, к двум надо прибавить еще два, то есть двойку взять два раза. А это и есть дважды два!

- Молодец, хорошо объяснил! - похвалил папа.- А сейчас я немного изменю условие задачи. Пусть на каждом кармане моей куртки по три пуговицы. Сколько теперь пуговиц на карманах? Реши задачу и запиши ее решение.

Петя стал рассуждать:

- На одном кармане три пуговицы, на другом тоже три пуговицы; значит, к трем прибавить еще три, то есть тройку взять два раза. Получается... шесть! Запишем!

- Папа! Значит, решение задачи и так, и так можно записать. Правильно?

- Правильно. Прочти-ка вторую запись.

- Три умножить на два получится шесть. Ой, папа! Ведь два умножить на три, тоже было шесть?! Выходит, все равно, как считать: три умножить на два или два умножить на три? Одинаково получается?

- Да, одинаково. И это можно легко показать. Давай возьмем шесть кубиков и будем из них строить домик. Сначала построим такой домик. В нем два этажа, а в каждом этаже по три кубика. Значит, как здесь удобно сосчитать кубики? Три умножить на два! А теперь из этих же кубиков построим другой домик, такой. В нем три этажа, а в каждом по два кубика. Теперь удобно сосчитать кубики так: два умножить на три. Вот и выходит, что три умножить на два и два умножить на три - это одно и то же.

Петя сказал:

- Я понял. А из этих шести кубиков можно и другие домики построить. Одноэтажный и шестиэтажный.

Значит, и так можно записать.

- Ты правильно подметил это,- сказал довольный папа.- Два числа можно умножать друг на друга в любом порядке: результат будет один и тот же.

- А прибавлять числа тоже можно в любом порядке?

- Да. Если взять два числа, то все равно, как прибавлять: к первому прибавить второе или ко второму прибавить первое. Результат будет один и тот же. Посмотри на эти картинки и сделай у себя в тетрадке подходящие записи.

Вот какие записи сделал Петя.

- Давай еще умножать и прибавлять,- попросил он папу.

Папа сказал:

- Мы поступим вот как: я задам тебе несколько разных упражнений. Ты выполняй их, а я буду проверять, как ты с ними справляешься.