Введение

Математическая шкатулка

...Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно^*.

^* (Koлмогоров А. Н. О профессии математика. М., 1957.)

А. Н. Колмогоров.

Прочитайте!

М. И. Калинин говорил в 1941 г. учащимся средних школ Ленинского района г. Москвы: "Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступали, в какой бы области ни работали, если вы хотите оставить там какой-нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики. А кто из вас не мечтает теперь стать моряком, летчиком, артиллеристом, квалифицированным рабочим в различных отраслях нашей промышленности, строителем, металлургом, слесарем, токарем и т. д., опытным полеводом, животноводом, садоводом и т. д.?.. Но все эти профессии требуют хорошего знания математики. И потому, если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе"^*. Эти замечательные слова М. И. Калинина надо не только хорошо помнить. Нужно упорно и настойчиво овладевать математическими знаниями и навыками, учиться применять их на практике. Без этого невозможно подготовить себя к активному участию в строительстве коммунизма.

^* (Калинин М. И. О воспитании и обучении. М., 1957.)

Дело не только в том, что знание математики необходимо для очень многих специальностей, и особенно технических. Нашей стране, строящей коммунизм, требуются тысячи высокообразованных специалистов, владеющих математикой и ее методами. Вот почему у нас в стране большое внимание уделяется математическому образованию подрастающего поколения.

В средней школе математику изучают с 1-го по 10-й класс, уроков за это время проводится много. Разумеется, каждый ученик должен хорошо усваивать все то, что излагает учитель, тщательно выполнять все задания. Но для того чтобы в дальнейшем можно было бы овладеть специальностью, так или иначе связанной с математикой ее методами, ее применениями, этого недостаточно. Необходимы самостоятельная творческая работа и сознательное отношение к изучению этого трудного предмета.

Было бы грубой ошибкой думать, что математика - это застывшая, законченная наука, что достаточно усвоить уже известные формулы, правила и теоремы. В действительности, математика, как и другие науки, непрерывно развивается, обогащается новыми теориями, перестраивается в ответ на новые запросы жизни. И здесь не труднее, чем в других науках, добраться до возможности открывать новое. Многие ученые, в том числе русские и советские, начинали самостоятельные исследования и серьезную научную работу довольно рано, с 18-20 лет, но перед этим упорно и настойчиво изучали основы математики в средней школе. Вот несколько примеров.

Один из выдающихся советских математиков - Лев Семенович Понтрягин родился в 1908 г. Четырнадцати лет от несчастного случая он потерял зрение, но это не убило в нем стремления к науке. В 1925 г., шестнадцати лет, Лев Понтрягин окончил среднюю школу. В школьные годы он не только хорошо изучил школьный курс математики, но самостоятельно осваивал и многие разделы высшей математики. После окончания средней школы Понтрягин поступил в университет и уже через два года выполнил свою первую научную работу, посвященную важной отрасли математики - топологии, а еще через два года блестяще окончил Московский университет, затем закончил аспирантуру при нем и в короткое время зарекомендовал себя как талантливый ученый. Двадцати двух лет он выступил с изложением своих открытий на Всесоюзном математическом съезде. В 1939 г. Лев Семенович был избран членом-корреспондентом, а в 1958 г. - академиком Академии наук СССР. В 1941 г. за выдающиеся открытия ему была присуждена Государственная премия, в 1962 г. Л. С. Понтрягин удостоен Ленинской премии за труды в области математики, а в 1969 г. ему присвоено звание Героя Социалистического Труда.

Один из видных советских математиков - Сергей Никитович Мергелян, родившийся в 1928 г., начал упорно заниматься математикой еще в младших классах средней школы. Восьмиклассником он принял участие в математической олимпиаде для десятиклассников и первым решил предложенные задачи. Тогда ему было всего лишь 14 лет. В 1944 г. он сдал экзамены за девятый и десятый классы и вскоре поступил в Ереванский университет. Пятилетний университетский курс С. Мергелян освоил за три года, а последующий трехлетний курс аспирантуры при Академии наук СССР он прошел за полтора года. Первую научную работу Мергелян опубликовал еще в университетские годы, а в начале 1949 г. за выдающуюся научную работу по математике ему была присвоена сразу же степень доктора физико-математических наук. Двадцати лет он стал профессором того университета, в котором совсем недавно учился. В 1953 г. С. Н. Мергелян был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР. За свои открытия он был удостоен Государственной премии.

Известный советский математик Лев Генрихович Шнирельман (1905-1938) свои математические способности обнаружил уже двенадцати лет и в этом возрасте начал самостоятельные исследования в области алгебраических уравнений. Когда ему исполнилось 16 лет, он поступил в Московский университет и успешно закончил его за два с половиной года. В 1929 г. Л. Г. Шнирельман окончил аспирантуру, затем стал профессором, а в 1933 г. он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР.

Рано начал заниматься математикой Сергей Львович Соболев (родился в 1908 г.). Двадцати четырех лет он был избран членом-корреспондентом, а в 1939 г. действительным членом Академии наук СССР. За выдающиеся математические труды Сергей Львович Соболев был удостоен Государственной премии (1941), звания Героя Социалистического Труда. С. Л. Соболев - почетный доктор университета им. Гумбольдта в Берлине, Карлова университета (Прага), член Эдинбургского королевского общества (Англия) и других иностранных академий.

В нашей стране каждый талантливый человек получает все возможности для своего развития. Родина заботливо выращивает таланты, и они пышно расцветают. Совсем иным было отношение к талантливым людям у нас и в других странах в прошлом. Вот несколько примеров.

Одним из наиболее выдающихся математиков XIX в. был норвежский ученый Нильс Хенрик Абель. Родился Абель в 1802 г. Тринадцати лет он был отдан в училище. Выдающиеся способности к занятиям математикой у Абеля обнаружились, когда ему было всего 16 лет. В этом возрасте он полюбил математику и начал упорно заниматься ею. После окончания училища, в 1821 г., Абель поступил в университет и сразу же обратил на себя внимание как талантливый математик. В университетские годы он сделал свое выдающееся открытие об алгебраических уравнениях высших степеней. По окончании университета Абель предпринял поездку в Берлин, и Париж. В этих городах, где жили наиболее известные математики, он продолжал напряженные занятия математикой и сделал несколько новых важных открытий. За свою короткую жизнь Абель внес такой вклад в развитие математики, какой дает право считать его одним из величайших математиков. Но открытия Абеля не были поняты и оценены его современниками. В 1824 г. Абель послал свою работу о неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени в общем виде знаменитому немецкому математику Гауссу, но тот, к сожалению, ничего не ответил. Таким же было отношение к Абелю и со стороны французских математиков. Они также не сумели оценить огромное дарование молодого норвежского ученого. Одна из наиболее важных работ Абеля долгие годы пролежала в архивах Парижской академии. Не принесли признания Абелю при жизни и те работы, которые ему удалось опубликовать. Так, непризнанным, без средств к жизни и вернулся Абель на свою родину. Там ему пришлось заняться частными уроками, и лишь за год до смерти он получил скромную университетскую должность. Абель постоянно жил в тяжелой нужде. Материальные лишения губительно отразились на его здоровье, и в 1829 г. он скончался от туберкулеза. Печальна история его жизни.

Н. X. Абель (1802-1829) 'Вместо того, чтобы искать некоторое соотношение... надо спросить, возможно ли такое соотношение...'

Э. Галуа (1811 - 1832) 'Я открыл в анализе кое-что новое. Некоторые из этих открытий касаются теории уравнений...'

Еще печальнее и короче была жизнь другого гениального французского математика - Эвариста Галуа. "Личность этого человека, - писал о нем известный советский математик Н. Г. Чеботарев, - представляет совершенно исключительное в истории науки явление"^*. Два раза пытался поступить Галуа в знаменитую французскую Политехническую школу, но каждый раз проваливался на вступительных экзаменах. Поступив в менее известную Нормальную школу, Галуа уже через год был исключен из нее за выступление против ее реакционного директора. Так и не получил он специального математического образования, но исключительные математические способности позволили ему сделать замечательные открытия. Математическое дарование Галуа проявилось очень рано. Основные результаты своей замечательной теории, названной его именем, он получил уже в возрасте 16-18 лет.

^* (Чеботарев Н. Г. Теория Галуа. М., 1936. )

За свою очень короткую жизнь (21 год) Галуа заложил основы современной алгебры. Созданная им теория алгебраических уравнений высших степеней оказала сильное влияние не только на развитие алгебры, но и всей математики. Идеи и методы, предложенные Галуа, нашли применение в естествознании, в механике, кристаллографии и других науках.

Занятия наукой Галуа соединял с активным участием в бурной политической жизни тогдашней Франции. Он примыкал к обществу "Друзей народа". За публичные выступления против королевского режима, как ярый республиканец и непримиримый враг короля, Галуа неоднократно подвергался арестам.

Математические открытия Галуа при его жизни не были признаны. Свои работы Галуа два раза представлял в Парижскую академию наук, но даже такие крупные математики того времени, как Коши, Фурье и Пуассон, не могли понять значения его открытий. Работы Галуа в Парижской академии предавались забвению или возвращались оттуда с надписью "непонятно".

Математические работы Галуа были разработаны и опубликованы лишь спустя 14 лет после его смерти. Это всего несколько десятков страниц, но содержание их стало одним из краеугольных камней фундамента современной математики^*.

^* (Прочитайте книгу: Инфельд Л. Эварист Галуа. М., 1958.)

В дореволюционной России талантливые люди, выходившие из народа, также подвергались преследованиям. Тяжелой была жизнь русского математика Тимофея Федоровича Осиповского. Продолжительное время он работал профессором и ректором Харьковского университета. Взгляды Осиповского были передовыми. Он не скрывал своих убеждений, последовательно и настойчиво разъяснял их, не боясь затронуть чье-либо самолюбие, не боясь испортить свое служебное положение. Царское правительство не могло мириться со свободомыслием Осиповского, и Тимофей Федорович, так много сделавший для процветания Харьковского университета, был отстранен от работы и лишен средств существования. Последние годы его жизни прошли в тяжелых материальных условиях, в нужде и лишениях.

Преследованиям подвергался и великий русский математик, ученик Осиповского - Михаил Васильевич Остроградский. Он был обвинен в вольнодумстве, в безбожии. Ему не только было отказано в звании кандидата наук, но даже был отнят аттестат об окончании Харьковского университета. После четырех лет обучения в университете Остроградский остался без документа об его окончании, хотя он три раза успешно сдал все требующиеся экзамены^*. А ведь впоследствии М. В. Остроградский стал членом Российской академии.

^* (Прочитайте книгу: Гнеденко Б. В. Михаил Васильевич Остроградский. М., 1952.)

Терпел преследования и гениальный русский математик Николай Иванович Лобачевский. Еще в студенческие годы Лобачевский за свои убеждения многократно подвергался различным взысканиям. Университетское начальство за проявленные Лобачевским признаки безбожия собиралось исключить его из Казанского университета и отдать в солдаты. И только решительное заступничество профессоров, занимавшихся с Лобачевским, спасло его от грозившей ему страшной участи. Позднее, когда Лобачевский сделал свое гениальное открытие, когда он опубликовал несколько работ, посвященных открытой им новой геометрии, его научный подвиг все же не был оценен. Замечательные идеи Лобачевского при его жизни не получили признания. Больше того, открытие Лобачевского было осмеяно, над ним издевались, его унижали и оскорбляли. И когда в 1893 г., через 37 лет после смерти Лобачевского, Казанский университет обратился в министерство просвещения с просьбой разрешить отпраздновать столетие со дня рождения Лобачевского, министерство запросило университет, кто такой Лобачевский и какие научные заслуги он имеет. Не прекратились преследования Лобачевского и в последние годы его жизни. После всего того, что он сделал для Казанского университета, для народного образования, для науки, его, еще полного сил, энергии и новых замыслов, уволили "на покой", как если бы он был дряхлым стариком. Тяжелее удара нельзя было нанести. Он одновременно был освобожден и от должности профессора, и от должности ректора университета. Это было оскорбительно грубое отстранение заслуженного ученого от участия в делах того университета, которому он посвятил всю свою жизнь. Насильственное отстранение от деятельности в университете и вызванное этим ухудшение материального положения подорвали здоровье Лобачевского. Он ослеп и вскоре умер.

Н. И. Лобачевский (1792-1856) "...Все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано"

М. В. Остроградский (1801 - 1862) "Все отвлеченные понятия пояснять, как только можно, и примерами, и задачами, и приложениями..."

Таких примеров можно было бы привести больше. Они говорят о том, что в прошлом таланты, выходящие из народа, подвергались гонениям. Советская власть открыла для талантливых людей все дороги и пути. И как нам не радоваться этому! И как не отвечать на заботу Родины прославлением ее успехами в науке и труде. Вот почему наши учащиеся, заинтересовавшиеся математикой, не должны терять времени. Математикой надо заниматься с младших классов. Времени и сил для этого не следует жалеть.

Часто думают, что для занятий математикой необходимы особые способности. Так ли это? Практика обучения математике в средней школе показывает, что обычных средних способностей вполне достаточно для того, чтобы ученик, при правильном руководстве им, сознательно усваивал математику, преподающуюся в средней школе. Математические способности нужны для тех, кто посвятит всю свою жизнь математике.

Какие же это способности? Иногда думают, что успех в математике основан на простом запоминании большого числа правил, формул, теорем и т. д. Конечно, хорошая память для занятий математикой нужна, но очень многие выдающиеся ученые-математики никакой особой памятью не обладали и именно систематические занятия математикой часто помогали им развивать ее. Значительно важней, чем память, для занятий математикой - умение находить наиболее удачные пути решения задач, тождественных преобразований, решения уравнений и т. д. Очень важно также научиться пользоваться наглядными, в том числе геометрическими представлениями при изучении различных вопросов математики, при решении разнообразных задач (графические иллюстрации, графики и т. д.). Особенно ценно для всех желающих заниматься математикой развивать логическое мышление, умения правильно, обоснованно и последовательно рассуждать. Все эти способности, необходимые для математиков, не даются человеку готовыми при рождении. Они развиваются и крепнут в ходе творческого изучения математики. Нужно только любить эту науку и упорно заниматься ею.

В математике усвоение всего действительно ценного и значительного требует напряженных усилий. Еще больше усилий требует научное творчество в математике. Способности для специальных занятий математикой необходимы, но недостаточны. Математический талант - это прежде всего напряженный, хорошо организованный труд. Помните об этом!

Часто говорят, что математика скучна. Так думают нерадивые ученики и люди, далеко стоящие от математики. Спросите кого-либо из математиков - кажется ли ему математика скучной? Вы услышите - нет! Математика суха и скучна для тех, кто дальше начатков ее не ушел. Математика пленяет всех тех, кто достаточно продвигается в ее изучении. Недаром выдающаяся русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская писала^*: "Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают ее с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего времени^** говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе". Даже об арифметике два с половиной века тому назад один из первых русских математиков-педагогов - Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739) писал, что это "...художество частное, независимое и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее". Даже в отдаленном прошлом у нас находилось немало людей - "числолюбцев", увлекавшихся решением арифметических и геометрических задач. С тех пор в математике многое изменилось. Особенно бурно развивается математика в последние десятилетия. И в наши дни, пожалуй, не найдется ни одного школьника, заинтересовавшегося математикой, который не мог бы не согласиться с такими словами талантливого советского математика Н. Г. Чеботарева: "В математике красота играет громадную роль".

^* (Прочитайте о С. В. Ковалевской книгу: Воронцова Л. Софья Ковалевская. М., 1959.)

^** (Имеется в виду выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815 -1897), у которого С. В. Ковалевская училась.)

С. В. Ковалевская (1850-1891) '...Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе'

В этой книге представлены разнообразные задачи для учащихся 4-8-х классов. Некоторые из них или похожие на них иногда можно увидеть на страницах журналов, в различных книгах по математике. Но здесь есть достаточно много интересных задач, интересных даже для учащихся старших классов. В этом сборнике задач есть и легкие, есть и трудные, замысловатые задачи и вопросы. Иначе говоря, эта книга является своеобразной математической шкатулкой.

"Математическая шкатулка" предназначена прежде всего нашим пионерам. Кому, как не им, быть застрельщиками в распространении интересных математических задач и их решений! Как использовать "Математическую шкатулку"? Прежде всего пытайтесь сами решать понравившиеся задачи и отвечать на вопросы. Думайте над ними, соображайте, ищите возможно более простые и красивые решения. Может случиться так, что задача не будет "поддаваться". Тогда заглядывайте в ответы и указания, но не злоупотребляя этим. Если же и указания не помогут разобраться, то обращайтесь за помощью к старшим товарищам, к вожатому, к своим учителям математики. Не огорчайтесь, если сразу не можете решить задачу. Уже то полезно, что думали над ней, пробовали различные подходы к решению, даже если не решили. Размышления над задачами, поиски решений развивают ваше мышление, сообразительность, способствуют повышению уровня математической грамотности.

Помните, что в математике, пожалуй, самое интересное - это задачи. Вместе с тем это и самое трудное. Не бойтесь трудностей. Об этом прекрасно сказал К. Маркс: "В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот может достигнуть ее сияющих вершин, кто, не страшась усталости, карабкается по ее каменистым тропам"^*.

^* (Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 23, с. 25.)

Математика, пожалуй, самое интересное